Có bao nhiêu cặp số thực $(a;b)$ sao cho phương trình...

TH1: $\mathrm{\Delta }=b^2-4a>0$, phương trình có hai nghiệm thực $z_1$, $z_2$, khi đó:
$\{\begin{array}{c}|z_1+i|=\sqrt{5}\\ |z_{2}5-2i|=2\sqrt{5}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{z}_1^2+1=5\\ {(z_2-5)}^2+4=20\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{z}_1^2=4\\ z_2^2-10z_2+9=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}[\begin{array}{c}{z}_1=2\\ z_1=-2\end{array}\\ [\begin{array}{c}{z}_2=1\\ z_2=9\end{array}\end{array}$.
Trường hợp này có $4$ cặp $(a;b)$ thỏa mãn.
TH2: $\mathrm{\Delta }=b^2-4a=0$, phương trình có nghiệm kép $z_0$ :
$\{\begin{array}{c}|z_0+i|=\sqrt{5}\\ |z_{0}5-2i|=2\sqrt{5}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{z}_0^2+1=5\\ {(z_0-5)}^2+4=20\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{z}_0^2=4\\ z_0^2-10z_0+9=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}[\begin{array}{c}{z}_0=2\\ z_0=-2\end{array}\\ [\begin{array}{c}{z}_0=1\\ z_0=9\end{array}\end{array}$.
Trường hợp này không có $z_0$ thỏa mãn nên không có cặp $(a;b)$ thỏa mãn.
TH3: $\mathrm{\Delta }=b^2-4a<0$, phương trình có hai nghiệm không thực $z_1$, $z_2$ :
Đặt $z_1=x+yi$ và $z_2=x-yi$, khi đó:
$\{\begin{array}{c}|z_1+i|=\sqrt{5}\\ |z_{2}5-2i|=2\sqrt{5}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}|x+yi+i|=\sqrt{5}\\ |x-yi5-2i|=2\sqrt{5}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}^2+{(y+1)}^2=5\\ {(x-5)}^2+{(y+2)}^2=20\end{array}(\ast )$
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét $\left(C_1\right):\{\begin{array}{c}{I}_1(0;-1)\\ R_1=\sqrt{5}\end{array}$ và $\left(C_2\right):\{\begin{array}{c}{I}_2(5;-2)\\ R_1=2\sqrt{5}\end{array}$.
Ta có $\overrightarrow{I_1{I}_2}=(5;-1)\Rightarrow I_1{I}_2=\sqrt{26}<3\sqrt{5}=R_1+R_2$.
Nên $\left(C_1\right)$ cắt $\left(C_2\right)$ tại hai điểm nên $(\ast )$ có hai cặp nghiệm $(x;y)$.
Trường hợp này có $2$ cặp $(a;b)$ thỏa mãn.