Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số thực $\left( a;b \right)$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+i \right|=\sqrt{5}$ và $\left| {{z}_{2}}5-2i \right|=2\sqrt{5}$ ?
A. $5$.
B. $6$.
C. $2$.
D. $4$.
A. $5$.
B. $6$.
C. $2$.
D. $4$.
TH1: $\Delta ={{b}^{2}}-4a>0$, phương trình có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$, khi đó:
$\left\{ \begin{matrix}
\left| {{z}_{1}}+i \right|=\sqrt{5} \\
\left| {{z}_{2}}5-2i \right|=2\sqrt{5} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
z_{1}^{2}+1=5 \\
{{\left( {{z}_{2}}-5 \right)}^{2}}+4=20 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
z_{1}^{2}=4 \\
z_{2}^{2}-10{{z}_{2}}+9=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
{{z}_{1}}=2 \\
{{z}_{1}}=-2 \\
\end{matrix} \right. \\
\left[ \begin{matrix}
{{z}_{2}}=1 \\
{{z}_{2}}=9 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$.
Trường hợp này có $4$ cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
TH2: $\Delta ={{b}^{2}}-4a=0$, phương trình có nghiệm kép ${{z}_{0}}$ :
$\left\{ \begin{matrix}
\left| {{z}_{0}}+i \right|=\sqrt{5} \\
\left| {{z}_{0}}5-2i \right|=2\sqrt{5} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
z_{0}^{2}+1=5 \\
{{\left( {{z}_{0}}-5 \right)}^{2}}+4=20 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
z_{0}^{2}=4 \\
z_{0}^{2}-10{{z}_{0}}+9=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
{{z}_{0}}=2 \\
{{z}_{0}}=-2 \\
\end{matrix} \right. \\
\left[ \begin{matrix}
{{z}_{0}}=1 \\
{{z}_{0}}=9 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$.
Trường hợp này không có ${{z}_{0}}$ thỏa mãn nên không có cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
TH3: $\Delta ={{b}^{2}}-4a<0$, phương trình có hai nghiệm không thực ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ :
Đặt ${{z}_{1}}=x+yi$ và ${{z}_{2}}=x-yi$, khi đó:
$\left\{ \begin{matrix}
\left| {{z}_{1}}+i \right|=\sqrt{5} \\
\left| {{z}_{2}}5-2i \right|=2\sqrt{5} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left| x+yi+i \right|=\sqrt{5} \\
\left| x-yi5-2i \right|=2\sqrt{5} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=5 \\
{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=20 \\
\end{matrix} \right.\left( * \right)$
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét $\left( {{C}_{1}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{1}}\left( 0;-1 \right) \\
{{R}_{1}}=\sqrt{5} \\
\end{matrix} \right. $ và $ \left( {{C}_{2}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{2}}\left( 5;-2 \right) \\
{{R}_{1}}=2\sqrt{5} \\
\end{matrix} \right.$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 5;-1 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{26}<3\sqrt{5}={{R}_{1}}+{{R}_{2}}$.
Nên $\left( {{C}_{1}} \right)$ cắt $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại hai điểm nên $\left( * \right)$ có hai cặp nghiệm $\left( x;y \right)$.
Trường hợp này có $2$ cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
$\left\{ \begin{matrix}
\left| {{z}_{1}}+i \right|=\sqrt{5} \\
\left| {{z}_{2}}5-2i \right|=2\sqrt{5} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
z_{1}^{2}+1=5 \\
{{\left( {{z}_{2}}-5 \right)}^{2}}+4=20 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
z_{1}^{2}=4 \\
z_{2}^{2}-10{{z}_{2}}+9=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
{{z}_{1}}=2 \\
{{z}_{1}}=-2 \\
\end{matrix} \right. \\
\left[ \begin{matrix}
{{z}_{2}}=1 \\
{{z}_{2}}=9 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$.
Trường hợp này có $4$ cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
TH2: $\Delta ={{b}^{2}}-4a=0$, phương trình có nghiệm kép ${{z}_{0}}$ :
$\left\{ \begin{matrix}
\left| {{z}_{0}}+i \right|=\sqrt{5} \\
\left| {{z}_{0}}5-2i \right|=2\sqrt{5} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
z_{0}^{2}+1=5 \\
{{\left( {{z}_{0}}-5 \right)}^{2}}+4=20 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
z_{0}^{2}=4 \\
z_{0}^{2}-10{{z}_{0}}+9=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
{{z}_{0}}=2 \\
{{z}_{0}}=-2 \\
\end{matrix} \right. \\
\left[ \begin{matrix}
{{z}_{0}}=1 \\
{{z}_{0}}=9 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$.
Trường hợp này không có ${{z}_{0}}$ thỏa mãn nên không có cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
TH3: $\Delta ={{b}^{2}}-4a<0$, phương trình có hai nghiệm không thực ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ :
Đặt ${{z}_{1}}=x+yi$ và ${{z}_{2}}=x-yi$, khi đó:
$\left\{ \begin{matrix}
\left| {{z}_{1}}+i \right|=\sqrt{5} \\
\left| {{z}_{2}}5-2i \right|=2\sqrt{5} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left| x+yi+i \right|=\sqrt{5} \\
\left| x-yi5-2i \right|=2\sqrt{5} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=5 \\
{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=20 \\
\end{matrix} \right.\left( * \right)$
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét $\left( {{C}_{1}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{1}}\left( 0;-1 \right) \\
{{R}_{1}}=\sqrt{5} \\
\end{matrix} \right. $ và $ \left( {{C}_{2}} \right):\left\{ \begin{matrix}
{{I}_{2}}\left( 5;-2 \right) \\
{{R}_{1}}=2\sqrt{5} \\
\end{matrix} \right.$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 5;-1 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{26}<3\sqrt{5}={{R}_{1}}+{{R}_{2}}$.
Nên $\left( {{C}_{1}} \right)$ cắt $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại hai điểm nên $\left( * \right)$ có hai cặp nghiệm $\left( x;y \right)$.
Trường hợp này có $2$ cặp $\left( a;b \right)$ thỏa mãn.
Đáp án B.