Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}$.
A. $3$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $7$.
A. $3$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $7$.
Nhận xét ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2>0\forall x;y$
Bất phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}}{{{2}^{2x}}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right)$ $\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right)$.
Đặt $t={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1$. Bất phương trình $\Leftrightarrow {{2}^{t}}\le t+1$ $\Leftrightarrow {{2}^{t}}-t-1\le 0$
Đặt $f\left( t \right)={{2}^{t}}-t-1$. Ta thấy $f\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=0$.
Ta có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2-1$
${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{t}}\ln 2=1\Leftrightarrow t={{\log }_{2}}\left( \dfrac{1}{\ln 2} \right)\approx 0,52$
Từ BBT ta thấy $f\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 1$
$0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\le 1$ $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1\Rightarrow {{(x-1)}^{2}}\le 1\Leftrightarrow 0\le x\le 2$
- Với $x=0\Rightarrow {{y}^{2}}\le 0\Rightarrow y=0$ ta có 1 cặp
- Với $x=1\Rightarrow {{y}^{2}}\le 1\Rightarrow y=0;y=\pm 1$ ta có 3 cặp
- Với $x=2\Rightarrow {{y}^{2}}\le 0\Rightarrow y=0$ ta có 1 cặp
Vậy có tất cả 5 cặp $(x,y)$ thõa mãn.
Bất phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}}{{{2}^{2x}}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right)$ $\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right)$.
Đặt $t={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1$. Bất phương trình $\Leftrightarrow {{2}^{t}}\le t+1$ $\Leftrightarrow {{2}^{t}}-t-1\le 0$
Đặt $f\left( t \right)={{2}^{t}}-t-1$. Ta thấy $f\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=0$.
Ta có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2-1$
${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{t}}\ln 2=1\Leftrightarrow t={{\log }_{2}}\left( \dfrac{1}{\ln 2} \right)\approx 0,52$
$0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\le 1$ $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1\Rightarrow {{(x-1)}^{2}}\le 1\Leftrightarrow 0\le x\le 2$
- Với $x=0\Rightarrow {{y}^{2}}\le 0\Rightarrow y=0$ ta có 1 cặp
- Với $x=1\Rightarrow {{y}^{2}}\le 1\Rightarrow y=0;y=\pm 1$ ta có 3 cặp
- Với $x=2\Rightarrow {{y}^{2}}\le 0\Rightarrow y=0$ ta có 1 cặp
Vậy có tất cả 5 cặp $(x,y)$ thõa mãn.
Đáp án C.