Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn ${{\log }_{7}}\left(...

Điều kiện: .
Ta có:

Đặt: , bất phương trình trở thành:
(1).
Xét hàm số ta có:
.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng .
Ta có
Từ đó suy ra: .
Đếm các cặp giá trị nguyên của
Ta có: , mà nên .
Với nên có 8 cặp.
Với nên có 16 cặp.
Với nên có 16 cặp.
Với nên có 16 cặp.
Với có 16 cặp.
Với nên có 16 cặp.
Với nên có 14 cặp.
Với có 10 cặp.
Với có 6 cặp.
Với có 2 cặp.
Vậy có 120 cặp giá trị nguyên thỏa mãn đề bài.