Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn
${{\log }_{7}}\left( \left| x \right|+\left| y \right| \right)+{{\log }_{5}}\left( \left| x \right|+\left| y \right|-5 \right)-{{\log }_{7}}5<{{\log }_{7}}\left( \left| x \right|+\left| y \right|+4 \right)$
A. 128.
B. 120.
C. 144.
D. 149.
${{\log }_{7}}\left( \left| x \right|+\left| y \right| \right)+{{\log }_{5}}\left( \left| x \right|+\left| y \right|-5 \right)-{{\log }_{7}}5<{{\log }_{7}}\left( \left| x \right|+\left| y \right|+4 \right)$
A. 128.
B. 120.
C. 144.
D. 149.
Điều kiện: $\left| x \right|+\left| y \right|-5>0$.
Ta có: ${{\log }_{5}}\left( \left| x \right|+\left| y \right|-5 \right)<{{\log }_{7}}\left( \left| x \right|+\left| y \right|+4 \right)-{{\log }_{7}}\left( \left| x \right|+\left| y \right| \right)+{{\log }_{7}}5$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( \left| x \right|+\left| y \right|-5 \right)<{{\log }_{7}}\left( \dfrac{5\left| x \right|+5\left| y \right|+20}{\left| x \right|+\left| y \right|} \right)$
Đặt: $t=\left| x \right|+\left| y \right|-5 (t>0)$, bất phương trình trở thành: ${{\log }_{5}}\left( t \right)<{{\log }_{7}}\left( 5+\dfrac{20}{t+5} \right)$ $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( t \right)-{{\log }_{7}}\left( 5+\dfrac{20}{t+5} \right)<0$.
Xét hàm số $f(t)={{\log }_{5}}\left( t \right)-{{\log }_{7}}\left( 5+\dfrac{20}{t+5} \right)$ ta có ${f}'(t)=\dfrac{1}{t\ln 5}+\dfrac{20}{\left[ 5{{\left( t+5 \right)}^{2}}+20\left( t+5 \right) \right]\ln 7}>0,\forall t>0$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$.
Ta có $f(5)={{\log }_{5}}5-{{\log }_{7}}\left( 5+\dfrac{20}{10} \right)=0$
Từ đó suy ra: $(1)\Leftrightarrow f(t)<f(5)\Leftrightarrow 0<t<5\Leftrightarrow \left| x \right|+\left| y \right|-5<5\Leftrightarrow 5<\left| x \right|+\left| y \right|<10$.
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x ; y)$
Ta có: $\left| x \right|+\left| y \right|<10$, mà $\left| y \right|\ge 0$ nên $\left| x \right|<10$.
Với $\left| x \right|=0\Rightarrow y=\{\pm 6;\pm 7;\pm 8;\pm 9\}$ nên có 8 cặp.
Với $\left| x \right|=1\Rightarrow y=\{\pm 5;\pm 6;\pm 7;\pm 8\}$ nên có 16 cặp.
Với $\left| x \right|=2\Rightarrow y=\{\pm 4;\pm 5;\pm 6;\pm 7\}$ nên có 16 cặp.
Với $\left| x \right|=3\Rightarrow y=\{\pm 3;\pm 4;\pm 5;\pm 6\}$ nên có 16 cặp.
Với $\left| x \right|=4\Rightarrow y=\{\pm 2;\pm 3;\pm 4;\pm 5\}$ có 16 cặp.
Với $\left| x \right|=5\Rightarrow y=\{\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 4\}$ nên có 16 cặp.
Với $\left| x \right|=6\Rightarrow y=\{0;\pm 1;\pm 2;\pm 3\}$ nên có 14 cặp.
Với $\left| x \right|=7\Rightarrow y=\{0;\pm 1;\pm 2\}$ có 10 cặp.
Với $\left| x \right|=8\Rightarrow y=\{0;\pm 1\}$ có 6 cặp.
Với $\left| x \right|=9\Rightarrow y=\left\{ 0 \right\}$ có 2 cặp.
Vậy có 120 cặp giá trị nguyên $(x ; y)$ thỏa mãn đề bài.
Ta có: ${{\log }_{5}}\left( \left| x \right|+\left| y \right|-5 \right)<{{\log }_{7}}\left( \left| x \right|+\left| y \right|+4 \right)-{{\log }_{7}}\left( \left| x \right|+\left| y \right| \right)+{{\log }_{7}}5$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( \left| x \right|+\left| y \right|-5 \right)<{{\log }_{7}}\left( \dfrac{5\left| x \right|+5\left| y \right|+20}{\left| x \right|+\left| y \right|} \right)$
Đặt: $t=\left| x \right|+\left| y \right|-5 (t>0)$, bất phương trình trở thành: ${{\log }_{5}}\left( t \right)<{{\log }_{7}}\left( 5+\dfrac{20}{t+5} \right)$ $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( t \right)-{{\log }_{7}}\left( 5+\dfrac{20}{t+5} \right)<0$.
Xét hàm số $f(t)={{\log }_{5}}\left( t \right)-{{\log }_{7}}\left( 5+\dfrac{20}{t+5} \right)$ ta có ${f}'(t)=\dfrac{1}{t\ln 5}+\dfrac{20}{\left[ 5{{\left( t+5 \right)}^{2}}+20\left( t+5 \right) \right]\ln 7}>0,\forall t>0$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$.
Ta có $f(5)={{\log }_{5}}5-{{\log }_{7}}\left( 5+\dfrac{20}{10} \right)=0$
Từ đó suy ra: $(1)\Leftrightarrow f(t)<f(5)\Leftrightarrow 0<t<5\Leftrightarrow \left| x \right|+\left| y \right|-5<5\Leftrightarrow 5<\left| x \right|+\left| y \right|<10$.
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x ; y)$
Ta có: $\left| x \right|+\left| y \right|<10$, mà $\left| y \right|\ge 0$ nên $\left| x \right|<10$.
Với $\left| x \right|=0\Rightarrow y=\{\pm 6;\pm 7;\pm 8;\pm 9\}$ nên có 8 cặp.
Với $\left| x \right|=1\Rightarrow y=\{\pm 5;\pm 6;\pm 7;\pm 8\}$ nên có 16 cặp.
Với $\left| x \right|=2\Rightarrow y=\{\pm 4;\pm 5;\pm 6;\pm 7\}$ nên có 16 cặp.
Với $\left| x \right|=3\Rightarrow y=\{\pm 3;\pm 4;\pm 5;\pm 6\}$ nên có 16 cặp.
Với $\left| x \right|=4\Rightarrow y=\{\pm 2;\pm 3;\pm 4;\pm 5\}$ có 16 cặp.
Với $\left| x \right|=5\Rightarrow y=\{\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 4\}$ nên có 16 cặp.
Với $\left| x \right|=6\Rightarrow y=\{0;\pm 1;\pm 2;\pm 3\}$ nên có 14 cặp.
Với $\left| x \right|=7\Rightarrow y=\{0;\pm 1;\pm 2\}$ có 10 cặp.
Với $\left| x \right|=8\Rightarrow y=\{0;\pm 1\}$ có 6 cặp.
Với $\left| x \right|=9\Rightarrow y=\left\{ 0 \right\}$ có 2 cặp.
Vậy có 120 cặp giá trị nguyên $(x ; y)$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án B.
