Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn
${{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+112y \right)+{{\log }_{3}}\left( 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}} \right)<{{\log }_{4}}y+{{\log }_{3}}\left( 684{{x}^{2}}+1216{{y}^{2}}+720y \right)?$
A. $48$.
B. $56$.
C. $64$.
D. $76$.
${{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+112y \right)+{{\log }_{3}}\left( 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}} \right)<{{\log }_{4}}y+{{\log }_{3}}\left( 684{{x}^{2}}+1216{{y}^{2}}+720y \right)?$
A. $48$.
B. $56$.
C. $64$.
D. $76$.
Điều kiện: $y>0$.
Ta có: ${{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+112y \right)+{{\log }_{3}}\left( 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}} \right)<{{\log }_{4}}y+{{\log }_{3}}\left( 684{{x}^{2}}+1216{{y}^{2}}+720y \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+112y \right)-{{\log }_{4}}y<{{\log }_{3}}\left( 684{{x}^{2}}+1216{{y}^{2}}+720y \right)-{{\log }_{3}}\left( 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( \dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+112y}{y} \right)<{{\log }_{3}}\left( \dfrac{684{{x}^{2}}+1216{{y}^{2}}+720y}{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}} \right)$ $\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( \dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}{y}+112 \right)<{{\log }_{3}}\left( \dfrac{720y}{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}+76 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( \dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}{y}+112 \right)-{{\log }_{3}}\left( \dfrac{720y}{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}+76 \right)<0$
Đặt: $t=\dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}{y}(t>0)$
Bất phương trình trở thành: ${{\log }_{4}}(t+112)-{{\log }_{3}}\left( \dfrac{720}{t}+76 \right)<0$.
Xét hàm số $f(t)={{\log }_{4}}(t+112)-{{\log }_{3}}\left( \dfrac{720}{t}+76 \right)$
có ${f}'(t)=\dfrac{1}{(t+112)\ln 4}+\dfrac{720}{\left( 76{{t}^{2}}+720t \right)\ln 3}>0,\forall t>0$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$.
Mà $f(144)={{\log }_{4}}(144+112)-{{\log }_{3}}\left( \dfrac{720}{144}+76 \right)=0$
Từ đó $(1)\Leftrightarrow f(t)<f(144)\Leftrightarrow t<144\Leftrightarrow \dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}{y}<144\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\dfrac{-16{{y}^{2}}+144y}{9}$
Điều kiện: $-16{{y}^{2}}+144y>0\Leftrightarrow 0<y<9$
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x ; y)$
Với $y=1\ hay\ y=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\dfrac{128}{9}\Leftrightarrow -\dfrac{8\sqrt{2}}{3}<x<\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\Rightarrow x\in \{\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có $14$ cặp.
Với $y=2\ hay\ y=7\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\dfrac{224}{9}\Leftrightarrow -\dfrac{4\sqrt{14}}{3}<x<\dfrac{4\sqrt{14}}{3}\Rightarrow x\in \{\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có $18$ cặp.
Với $y=3\ hay\ y=6\Leftrightarrow {{x}^{2}}<32\Leftrightarrow -4\sqrt{2}<x<4\sqrt{2}\Rightarrow x\in \{\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 22 cặp.
Với $y=4\ hay\ y=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\dfrac{320}{9}\Leftrightarrow -\dfrac{8\sqrt{5}}{3}<x<\dfrac{8\sqrt{5}}{3}\Rightarrow x\in \{\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 22 cặp.
Vậy có $76$ cặp giá trị nguyên $(x ; y)$ thỏa mãn đề bài.
Ta có: ${{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+112y \right)+{{\log }_{3}}\left( 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}} \right)<{{\log }_{4}}y+{{\log }_{3}}\left( 684{{x}^{2}}+1216{{y}^{2}}+720y \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+112y \right)-{{\log }_{4}}y<{{\log }_{3}}\left( 684{{x}^{2}}+1216{{y}^{2}}+720y \right)-{{\log }_{3}}\left( 9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( \dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+112y}{y} \right)<{{\log }_{3}}\left( \dfrac{684{{x}^{2}}+1216{{y}^{2}}+720y}{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}} \right)$ $\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( \dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}{y}+112 \right)<{{\log }_{3}}\left( \dfrac{720y}{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}+76 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( \dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}{y}+112 \right)-{{\log }_{3}}\left( \dfrac{720y}{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}+76 \right)<0$
Đặt: $t=\dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}{y}(t>0)$
Bất phương trình trở thành: ${{\log }_{4}}(t+112)-{{\log }_{3}}\left( \dfrac{720}{t}+76 \right)<0$.
Xét hàm số $f(t)={{\log }_{4}}(t+112)-{{\log }_{3}}\left( \dfrac{720}{t}+76 \right)$
có ${f}'(t)=\dfrac{1}{(t+112)\ln 4}+\dfrac{720}{\left( 76{{t}^{2}}+720t \right)\ln 3}>0,\forall t>0$.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$.
Mà $f(144)={{\log }_{4}}(144+112)-{{\log }_{3}}\left( \dfrac{720}{144}+76 \right)=0$
Từ đó $(1)\Leftrightarrow f(t)<f(144)\Leftrightarrow t<144\Leftrightarrow \dfrac{9{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}}{y}<144\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\dfrac{-16{{y}^{2}}+144y}{9}$
Điều kiện: $-16{{y}^{2}}+144y>0\Leftrightarrow 0<y<9$
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x ; y)$
Với $y=1\ hay\ y=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\dfrac{128}{9}\Leftrightarrow -\dfrac{8\sqrt{2}}{3}<x<\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\Rightarrow x\in \{\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có $14$ cặp.
Với $y=2\ hay\ y=7\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\dfrac{224}{9}\Leftrightarrow -\dfrac{4\sqrt{14}}{3}<x<\dfrac{4\sqrt{14}}{3}\Rightarrow x\in \{\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có $18$ cặp.
Với $y=3\ hay\ y=6\Leftrightarrow {{x}^{2}}<32\Leftrightarrow -4\sqrt{2}<x<4\sqrt{2}\Rightarrow x\in \{\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 22 cặp.
Với $y=4\ hay\ y=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}<\dfrac{320}{9}\Leftrightarrow -\dfrac{8\sqrt{5}}{3}<x<\dfrac{8\sqrt{5}}{3}\Rightarrow x\in \{\pm 5;\pm 4;\pm 3;\pm 2;\pm 1;0\}$ nên có 22 cặp.
Vậy có $76$ cặp giá trị nguyên $(x ; y)$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án D.
