Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn ${{\log }_{4}}\left(...

Điều kiện: $x>0$.
Đặt $t={{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0$
Ta có:
${{\log }_{4}}\left( t+12y \right)+{{\log }_{3}}\left( t \right)\le {{\log }_{4}}y+{{\log }_{3}}\left( t+24y \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( \dfrac{t+12y}{y} \right)\le {{\log }_{3}}\left( \dfrac{t+24y}{t} \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( 12+m \right)\le {{\log }_{3}}\left( 1+\dfrac{24}{m} \right)\quad \quad $ Đặt $m=\dfrac{t}{y}\quad \left( m>0 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( 12+m \right)-{{\log }_{3}}\left( 1+\dfrac{24}{m} \right)\le 0$ $\left( * \right)$
Đặt $f\left( m \right)={{\log }_{4}}\left( 12+m \right)-{{\log }_{3}}\left( 1+\dfrac{24}{m} \right)$
$f'\left( m \right)=\dfrac{1}{\left( 12+m \right)\ln 4}+\dfrac{24}{{{m}^{2}}}\dfrac{1}{\left( 1+\dfrac{24}{m} \right)\ln 3}>0,\forall m>0$
Suy ra hàm số $f\left( m \right)$ đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$.
Mà $f\left( 4 \right)=0$ nên $f\left( m \right)\le 0\Leftrightarrow f\left( m \right)\le f\left( 4 \right)$
Từ đó suy ra: $0<m\le 4\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{y}\le 4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 4$.
Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x ; y)$
Với $x=\pm 2\Rightarrow {{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 0\Rightarrow y=2$ nên có 2 cặp.
Với $x=\pm 1\Rightarrow {{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 3\Rightarrow y=1;2;3$ nên có 6 cặp.
Với $x=0\Rightarrow {{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 4\Rightarrow y=0;1;2;3;4$ nên có 5 cặp.
Vậy có 13 cặp giá trị nguyên $(x ; y)$ thỏa mãn đề bài.