Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $0<y<2020$ và ${{3}^{x}}+3x-6=9y+{{\log }_{3}}{{y}^{3}}?$
A. 2020.
B. 9.
C. 7.
D. 8.
A. 2020.
B. 9.
C. 7.
D. 8.
Ta có ${{3}^{x}}+3x-6=9y+{{\log }_{3}}{{y}^{3}}\Leftrightarrow {{3}^{x}}+3x={{3}^{{{\log }_{3}}9y}}+3{{\log }_{3}}y+6$
$\Leftrightarrow {{3}^{x}}+3x={{3}^{{{\log }_{3}}y+2}}+3\left( {{\log }_{3}}y+2 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+3t,t\in \mathbb{R}.$ Ta có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+3>0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Mà $f\left( x \right)=f\left( {{\log }_{3}}y+2 \right)$ nên $x={{\log }_{3}}y+2.\left( 1 \right)$
Do x là số nguyên nên ${{\log }_{3}}y$ là số nguyên, tức là $y={{3}^{k}}\left( k\in \mathbb{N} \right).$
Ta có $0<y<2020\Leftrightarrow 0<{{3}^{k}}<2020\Leftrightarrow 0\le k<{{\log }_{3}}2020\approx 6,93.$
Mà $k\in \mathbb{N}$ nên $k\in \left\{ 0;1;2;...;6 \right\}\Rightarrow $ có 7 giá trị $k\Rightarrow $ có 7 giá trị y.
Hơn nữa từ (1) suy ra mỗi giá trị của y tương ứng đúng 1 giá trị của x.
$\Leftrightarrow {{3}^{x}}+3x={{3}^{{{\log }_{3}}y+2}}+3\left( {{\log }_{3}}y+2 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+3t,t\in \mathbb{R}.$ Ta có ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+3>0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Mà $f\left( x \right)=f\left( {{\log }_{3}}y+2 \right)$ nên $x={{\log }_{3}}y+2.\left( 1 \right)$
Do x là số nguyên nên ${{\log }_{3}}y$ là số nguyên, tức là $y={{3}^{k}}\left( k\in \mathbb{N} \right).$
Ta có $0<y<2020\Leftrightarrow 0<{{3}^{k}}<2020\Leftrightarrow 0\le k<{{\log }_{3}}2020\approx 6,93.$
Mà $k\in \mathbb{N}$ nên $k\in \left\{ 0;1;2;...;6 \right\}\Rightarrow $ có 7 giá trị $k\Rightarrow $ có 7 giá trị y.
Hơn nữa từ (1) suy ra mỗi giá trị của y tương ứng đúng 1 giá trị của x.
Đáp án C.