Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn ${{\log...

Điều kiện: $x+y>0$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x+y \\
& v={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\left( u,v>0 \right)$. Thì bất phương trình trở thành:
$\begin{aligned}
& 2{{\log }_{2}}\left( 2u+3v \right)+3{{\log }_{3}}v\le 3{{\log }_{3}}\left( 4u+7v \right)+2{{\log }_{2}}u \\
& \Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( 2+3\dfrac{v}{u} \right)-3{{\log }_{3}}\left( 7+4\dfrac{u}{v} \right)\le 0 \\
\end{aligned}$
Đặt $\dfrac{u}{v}=t\left( t>0 \right)$ thì bất phương trình trở thành: $2{{\log }_{2}}\left( 2+\dfrac{3}{t} \right)-3{{\log }_{3}}\left( 7+4t \right)\le 0$
Xét hàm số $f\left( t \right)=2{{\log }_{2}}\left( 2+\dfrac{3}{t} \right)-3{{\log }_{3}}\left( 7+4t \right)\left( t>0 \right)$
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{-6}{\left( 2{{t}^{2}}+3t \right)\ln 2}-\dfrac{12}{\left( 7+4t \right)\ln 3}<0\forall t>0$
Nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ mà $f\left( 0,5 \right)=0$ nên $f\left( t \right)\le f\left( 0,5 \right)\Leftrightarrow t\ge 0,5$.
$\dfrac{x+y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\ge \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y\le 0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 2.$ (*)
Từ (*) và kết hợp điều kiện ban đầu $x+y>0$ và mô tả miền nghiệm trên cùng hệ trục tọa độ với (*) ta được:
Dựa vào hình ảnh miền nghiệm ta thấy có $8$ cặp số $\left( x;y \right)$ nguyên thỏa mãn.