Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x , y \right)$ thỏa mãn đồng thời
${{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{4}}+1}{{{y}^{4}}+1} \right)+2{{\log }_{2}}\left| \dfrac{x}{y} \right|=\left( {{y}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)-{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)$ và
$2{{\log }_{2}}\left( x+y+2 \right)=3{{\log }_{3}}\left( x+2y+6 \right)-1$ ?
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
${{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{4}}+1}{{{y}^{4}}+1} \right)+2{{\log }_{2}}\left| \dfrac{x}{y} \right|=\left( {{y}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)-{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)$ và
$2{{\log }_{2}}\left( x+y+2 \right)=3{{\log }_{3}}\left( x+2y+6 \right)-1$ ?
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Xét phương trình: ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{4}}+1}{{{y}^{4}}+1} \right)+2{{\log }_{2}}\left| \dfrac{x}{y} \right|=\left( {{y}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)-{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right) \left( 1 \right)$
Điều kiện xác định: $y\ne 0$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{4}}+1}{{{y}^{4}}+1} \right)+2{{\log }_{2}}\left| \dfrac{x}{y} \right|=\left( {{y}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}} \right) \left( 2 \right)$
• Xét $\left| x \right|>\left| y \right|$ : Khi đó $VT\left( 2 \right)>0>VP\left( 2 \right)$ : không thỏa mãn $\left( 2 \right)$
• Xét $\left| x \right|<\left| y \right|$ : Khi đó $VT\left( 2 \right)<0<VP\left( 2 \right)$ : không thỏa mãn $\left( 2 \right)$
• Xét $\left| x \right|=\left| y \right|$ : Khi đó $VT\left( 2 \right)=0=VP\left( 2 \right)$ : thỏa mãn $\left( 2 \right)$
Vậy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left| x \right|=\left| y \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=y \\
& x=-y \\
\end{aligned} \right.$.
Với $x=y$ : thay vào phương trình $2{{\log }_{2}}\left( x+y+2 \right)=3{{\log }_{3}}\left( x+2y+6 \right)-1$ ta được $2{{\log }_{2}}\left( 2y+2 \right)=3{{\log }_{3}}\left( 3y+6 \right)-1$ $\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( y+1 \right)=3{{\log }_{3}}\left( y+2 \right) \left( 3 \right)$
Đặt $2{{\log }_{2}}\left( y+1 \right)=3{{\log }_{3}}\left( y+2 \right)=6t$, ta được: $\left\{ \begin{aligned}
& y+1={{8}^{t}} \\
& y+2={{9}^{t}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y+1={{8}^{t}} \\
& {{8}^{t}}+1={{9}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y+1={{8}^{t}} \left( 5 \right) \\
& {{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{t}}=1 \left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$\left( 4 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 1 \right)$, với $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{t}}$ là hàm số nghịch biến trên tập $\mathbb{R}$.
Suy ra $\left( 4 \right)\Leftrightarrow t=1$. Thay vào $\left( 5 \right)$ ta được $y=7$. Vậy $\left( x , y \right)=\left( 7 , 7 \right)$.
Với $x=-y$ : thay vào phương trình $2{{\log }_{2}}\left( x+y+2 \right)=3{{\log }_{3}}\left( x+2y+6 \right)-1$ ta được $3{{\log }_{3}}\left( y+6 \right)-1=2$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( y+6 \right)=1$ $\Leftrightarrow y=-3$. Vậy $\left( x , y \right)=\left( 3 , -3 \right)$.
Vậy có 2 cặp số nguyên $\left( x , y \right)$ thỏa mãn.
Điều kiện xác định: $y\ne 0$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{4}}+1}{{{y}^{4}}+1} \right)+2{{\log }_{2}}\left| \dfrac{x}{y} \right|=\left( {{y}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}} \right) \left( 2 \right)$
• Xét $\left| x \right|>\left| y \right|$ : Khi đó $VT\left( 2 \right)>0>VP\left( 2 \right)$ : không thỏa mãn $\left( 2 \right)$
• Xét $\left| x \right|<\left| y \right|$ : Khi đó $VT\left( 2 \right)<0<VP\left( 2 \right)$ : không thỏa mãn $\left( 2 \right)$
• Xét $\left| x \right|=\left| y \right|$ : Khi đó $VT\left( 2 \right)=0=VP\left( 2 \right)$ : thỏa mãn $\left( 2 \right)$
Vậy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left| x \right|=\left| y \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=y \\
& x=-y \\
\end{aligned} \right.$.
Với $x=y$ : thay vào phương trình $2{{\log }_{2}}\left( x+y+2 \right)=3{{\log }_{3}}\left( x+2y+6 \right)-1$ ta được $2{{\log }_{2}}\left( 2y+2 \right)=3{{\log }_{3}}\left( 3y+6 \right)-1$ $\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( y+1 \right)=3{{\log }_{3}}\left( y+2 \right) \left( 3 \right)$
Đặt $2{{\log }_{2}}\left( y+1 \right)=3{{\log }_{3}}\left( y+2 \right)=6t$, ta được: $\left\{ \begin{aligned}
& y+1={{8}^{t}} \\
& y+2={{9}^{t}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y+1={{8}^{t}} \\
& {{8}^{t}}+1={{9}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y+1={{8}^{t}} \left( 5 \right) \\
& {{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{t}}=1 \left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$\left( 4 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 1 \right)$, với $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{t}}$ là hàm số nghịch biến trên tập $\mathbb{R}$.
Suy ra $\left( 4 \right)\Leftrightarrow t=1$. Thay vào $\left( 5 \right)$ ta được $y=7$. Vậy $\left( x , y \right)=\left( 7 , 7 \right)$.
Với $x=-y$ : thay vào phương trình $2{{\log }_{2}}\left( x+y+2 \right)=3{{\log }_{3}}\left( x+2y+6 \right)-1$ ta được $3{{\log }_{3}}\left( y+6 \right)-1=2$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( y+6 \right)=1$ $\Leftrightarrow y=-3$. Vậy $\left( x , y \right)=\left( 3 , -3 \right)$.
Vậy có 2 cặp số nguyên $\left( x , y \right)$ thỏa mãn.
Đáp án B.
