Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thoả mãn đồng thời...

Ta có: ${{\log }_{2}}\sqrt[4]{\dfrac{y+3}{2x+1}}+{{4}^{x}}={{2}^{y+2}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{{\log }_{2}}\left( \dfrac{y+3}{2x+1} \right)+{{2}^{2x}}={{2}^{y+2}} \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{y+3}{2x+1} \right)+{{2}^{2x+2}}={{2}^{y+4}} \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( y+3 \right)-{{2}^{y+4}}={{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)-{{2}^{2x+2}} \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( y+3 \right)-{{2}^{\left( y+3 \right)+1}}={{\log }_{2}}\left( 2x+1 \right)-{{2}^{\left( 2x+1 \right)+1}} \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t-{{2}^{t+1}}, t=y+3\Rightarrow 4\le t\le 2025$.
$\Rightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}-{{2}^{t+1}}\ln 2=\dfrac{1-t{{.2}^{t+1}}{{\ln }^{2}}2}{t\ln 2}<0 $ do $\left( t\ge 4 \right)$
$\Rightarrow f\left( t \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ 4;2025 \right]$
Ta có: $ 1\le y\le 2022\Leftrightarrow 1\le 2x-2\le 2022\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\le x\le 1012$.
Ứng với mỗi giá trị $x$ cho ra một giá trị $y$.
Vậy có 1011 cặp $\left( x;y \right)$ thoả ycbt.