Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $-2202\le x\le -2$ và ${{2.3}^{2y-2}}+{{\log }_{3}}\left( x+{{9}^{y-1}} \right)=2y-3x-3$ ?
A. 3
B. 102
C. 11
D. 7
A. 3
B. 102
C. 11
D. 7
Đặt ${{\log }_{3}}\left( x+{{9}^{y-1}} \right)=t\Rightarrow x+{{9}^{y-1}}={{3}^{t}}\Rightarrow x={{3}^{t}}-{{3}^{2y-2}}$.
Khi đó phương trình trở thành
${{2.3}^{2y-2}}+t=2y-3.\left( {{3}^{t}}-{{3}^{2y-2}} \right)-3\Leftrightarrow {{2.3}^{2y-2}}+t=2y-{{3}^{t+1}}+{{3.3}^{2y-2}}-3\Leftrightarrow {{3}^{2y-2}}+2y-2={{3}^{t+1}}+t+1$.
Dễ thấy hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}+x$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow f\left( 2y-2 \right)=f\left( t+1 \right)\Leftrightarrow 2y-3=t$.
Do đó $x={{3}^{2y-3}}-{{3}^{2y-2}}=-{{2.3}^{2y-3}}$.
Từ đó suy ra $-2022\le -{{2.3}^{2y-3}}\le -2\Leftrightarrow 1\le {{3}^{2y-3}}\le 1011\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\le y\le 4,65$.
Mà y nguyên nên $y\in \left\{ 2;3;4 \right\}$.
Với mỗi giá trị của y ta xác định được một giá trị của x.
Tóm lại có 3 cặp số nguyên thỏa mãn.
Khi đó phương trình trở thành
${{2.3}^{2y-2}}+t=2y-3.\left( {{3}^{t}}-{{3}^{2y-2}} \right)-3\Leftrightarrow {{2.3}^{2y-2}}+t=2y-{{3}^{t+1}}+{{3.3}^{2y-2}}-3\Leftrightarrow {{3}^{2y-2}}+2y-2={{3}^{t+1}}+t+1$.
Dễ thấy hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}+x$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow f\left( 2y-2 \right)=f\left( t+1 \right)\Leftrightarrow 2y-3=t$.
Do đó $x={{3}^{2y-3}}-{{3}^{2y-2}}=-{{2.3}^{2y-3}}$.
Từ đó suy ra $-2022\le -{{2.3}^{2y-3}}\le -2\Leftrightarrow 1\le {{3}^{2y-3}}\le 1011\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\le y\le 4,65$.
Mà y nguyên nên $y\in \left\{ 2;3;4 \right\}$.
Với mỗi giá trị của y ta xác định được một giá trị của x.
Tóm lại có 3 cặp số nguyên thỏa mãn.
Đáp án A.