Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $1\le...

Với $1\le x\le 2020;y\ge 2$ ta có: $x^2+x-xy=x{\log }_2(xy-x)-2^x$
$\begin{array}{rl}& \iff x+1-y={\log }_{2}x+{\log }_2(y-1)-{\displaystyle \frac{2^x}{x}}\iff x-{\log }_{2}x+{\displaystyle \frac{2^x}{x}}={\log }_2(y-1)+y-1\\ & \iff ({\log }_2{2}^x-{\log }_{2}x)+{\displaystyle \frac{2^x}{x}}={\log }_2(y-1)+(y-1)\iff {\log }_2{\displaystyle \frac{2^x}{x}}+{\displaystyle \frac{2^x}{x}}={\log }_2(y-1)+(y-1)(\ast )\end{array}$
Xét hàm số: $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$ với $t\ge 1$. Ta có: $f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{t\ln 2}}+1>0,\mathrm{\forall }t\ge 1.$
Suy ra: $f\left(t\right)$ là hàm số đồng biến trên nửa khoảng $[1;+\mathrm{\infty })$.
Ta có: $(\ast )\iff f\left({\displaystyle \frac{2^x}{x}}\right)=f(y-1)\iff {\displaystyle \frac{2^x}{x}}=y-1\iff y={\displaystyle \frac{2^x}{x}}+1$.
Để $y\in \mathbb{Z}\iff {\displaystyle \frac{2^x}{x}}\in \mathbb{Z}\iff 2^x⋮x$ $\iff x$ là ước của $2^x$.
Dễ thấy ước của $2^x$ đều có dạng $2^k$.
Mà $1\le x\le 2020\Rightarrow 1\le 2^k\le 2020\iff 0\le k\le {\log }_{2}2020\Rightarrow k\in \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}$
Vậy $x\in \{2^0;2^1;2^2;2^3;2^4;2^5;2^6;2^7;2^8;2^9;2^{10}\}$ có 11 số hạng.
Khi đó: $y={\displaystyle \frac{2^x}{x}}+1={\displaystyle \frac{2^{2^k}}{2^k}}+1=2^{2^k-k}+1\in \mathbb{Z}$ với $k\in \mathbb{N};0\le k\le 10$.
Mà $k\in \mathbb{N};0\le k\le 10$ nên $2^k-k\ge 0\Rightarrow 2^{2^k-k}\ge 1\Rightarrow 2^{2^k-k}+1\ge 2\Rightarrow y\ge 2.$
Vậy có 11 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn bài toán.