Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $1\le y\le 2020$ và ${{2}^{x-1}}={{\log }_{4}}\left( x+2y \right)+y$ ?
A. $11$.
B. $10$.
C. $6$.
D. $5$.
A. $11$.
B. $10$.
C. $6$.
D. $5$.
Đặt $t={{\log }_{4}}\left( x+2y \right)\Leftrightarrow x+2y={{4}^{t}}$ $\Leftrightarrow y=\dfrac{{{4}^{t}}-x}{2}$.
Khi đó ${{2}^{x-1}}=t+\dfrac{{{4}^{t}}-x}{2}\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x={{2}^{2t}}+2t$
Xét hàm số $f\left( u \right)={{2}^{u}}+u\Rightarrow {f}'\left( u \right)={{2}^{u}}\ln 2+2>0\ \forall u\in \mathbb{R}$.
Do đó $f\left( x \right)=f\left( 2t \right)$ $\Leftrightarrow x=2t$ $\Rightarrow y={{2}^{x-1}}-\dfrac{1}{2}x$ $\in \left[ 1;2020 \right]$.
Suy ra $x\in \left\{ 2;3;...;11 \right\}$.
Nhưng vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $x\vdots 2$. Do đó $x\in \left\{ 2;4;6;8;10 \right\}$.
Vậy có $5$ cặp số nguyên thỏa mãn.
Khi đó ${{2}^{x-1}}=t+\dfrac{{{4}^{t}}-x}{2}\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x={{2}^{2t}}+2t$
Xét hàm số $f\left( u \right)={{2}^{u}}+u\Rightarrow {f}'\left( u \right)={{2}^{u}}\ln 2+2>0\ \forall u\in \mathbb{R}$.
Do đó $f\left( x \right)=f\left( 2t \right)$ $\Leftrightarrow x=2t$ $\Rightarrow y={{2}^{x-1}}-\dfrac{1}{2}x$ $\in \left[ 1;2020 \right]$.
Suy ra $x\in \left\{ 2;3;...;11 \right\}$.
Nhưng vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $x\vdots 2$. Do đó $x\in \left\{ 2;4;6;8;10 \right\}$.
Vậy có $5$ cặp số nguyên thỏa mãn.
Đáp án D.