Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $0\le y\le 2020$ và ${{\log }_{2}}\left( 4y+4 \right)-x=1+{{2}^{x}}-y$ ?
A. $10$
B. $11$
C. $12$
D. $2021$
A. $10$
B. $11$
C. $12$
D. $2021$
${{\log }_{2}}\left( 4y+4 \right)+y=x+1+{{2}^{x}}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( y+1 \right)+\left( y+1 \right)={{\log }_{2}}{{2}^{x}}+{{2}^{x}}$
Xét hàm số $f\left( u \right)={{\log }_{2}}u+u$
Có $f'\left( u \right)=1+\dfrac{1}{u\ln 2}>0$ với $u\ge 1$ $\Rightarrow f\left( u \right)$ đồng biến trên $\left[ 1; +\infty \right)$ $\Rightarrow y+1={{2}^{x}}$.
Mặt khác $1\le y+1\le 2021\Rightarrow 1\le {{2}^{x}}\le 2021\Rightarrow 0\le x\le {{\log }_{2}}2021$.
Vì $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right\}$.
Vậy có 11 cặp số nguyên thỏa mãn ycbt.
Xét hàm số $f\left( u \right)={{\log }_{2}}u+u$
Có $f'\left( u \right)=1+\dfrac{1}{u\ln 2}>0$ với $u\ge 1$ $\Rightarrow f\left( u \right)$ đồng biến trên $\left[ 1; +\infty \right)$ $\Rightarrow y+1={{2}^{x}}$.
Mặt khác $1\le y+1\le 2021\Rightarrow 1\le {{2}^{x}}\le 2021\Rightarrow 0\le x\le {{\log }_{2}}2021$.
Vì $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right\}$.
Vậy có 11 cặp số nguyên thỏa mãn ycbt.
Đáp án B.