Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thoả mãn $0\le x\le 2020$ và ${{\log }_{3}}\left( 3x+3 \right)+x=2y+{{9}^{y}}$ ?
A. $2019$.
B. $6$.
C. $2020$.
D. $4$.
A. $2019$.
B. $6$.
C. $2020$.
D. $4$.
Ta có: ${{\log }_{3}}\left( 3x+3 \right)+x=2y+{{9}^{y}}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x+1=2y+{{3}^{2y}}$ $\left( 1 \right)$.
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\Rightarrow x+1={{3}^{t}}$. Với $x\in \left[ 0;2020 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]$.
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow t+{{3}^{t}}=2y+{{3}^{2y}}\left( 2 \right)$.
Xét hàm số $f\left( u \right)=u+{{3}^{u}}, u\in \left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]$.
${f}'\left( u \right)=1+{{3}^{u}}\ln 3>0, \forall u\in \left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]$. Và do hàm số $f\left( u \right)$ liên tục trên $\left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]$, suy ra $f\left( u \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]$.
Do đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 2y \right)\Leftrightarrow t=2y\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=2y\Leftrightarrow x={{3}^{2y}}-1$.
Vì $x\in \left[ 0;2020 \right]$ nên $0\le {{3}^{2y}}-1\le 2020\Leftrightarrow 1\le {{3}^{2y}}\le 2021$
$\Leftrightarrow 0\le 2y\le {{\log }_{3}}2021$
$\Leftrightarrow 0\le y\le \dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}2021$.
Do $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}$. Ứng với mỗi giá trị nguyên của $y$ cho ta $1$ giá trị nguyên của $x$.
Vậy có $4$ cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\Rightarrow x+1={{3}^{t}}$. Với $x\in \left[ 0;2020 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]$.
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow t+{{3}^{t}}=2y+{{3}^{2y}}\left( 2 \right)$.
Xét hàm số $f\left( u \right)=u+{{3}^{u}}, u\in \left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]$.
${f}'\left( u \right)=1+{{3}^{u}}\ln 3>0, \forall u\in \left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]$. Và do hàm số $f\left( u \right)$ liên tục trên $\left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]$, suy ra $f\left( u \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;{{\log }_{3}}2021 \right]$.
Do đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 2y \right)\Leftrightarrow t=2y\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=2y\Leftrightarrow x={{3}^{2y}}-1$.
Vì $x\in \left[ 0;2020 \right]$ nên $0\le {{3}^{2y}}-1\le 2020\Leftrightarrow 1\le {{3}^{2y}}\le 2021$
$\Leftrightarrow 0\le 2y\le {{\log }_{3}}2021$
$\Leftrightarrow 0\le y\le \dfrac{1}{2}{{\log }_{3}}2021$.
Do $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}$. Ứng với mỗi giá trị nguyên của $y$ cho ta $1$ giá trị nguyên của $x$.
Vậy có $4$ cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.