Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( a;b \right)$ với $1\le a\le...

a) Xét $a=1$ hoặc $b=1$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$ hoặc vô số nghiệm (loại).
b) Xét $a>1$ ; $b>1$.
* Nếu $a=b$ có vô số nghiệm (loại).
* Vì vai trò của $a$, $b$ như nhau ta chỉ cần tìm cặp số nguyên $\left( a;b \right)$ với $a>b>1$ (rồi suy ra số cặp nguyên $\left( a;b \right)$ với $b>a>1$ ) sao cho phương trình ${{a}^{-x}}+\dfrac{1}{b}={{b}^{-x}}+\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{x}}}-\dfrac{1}{{{b}^{x}}}-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=0$ có hai nghiệm thực phân biệt.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{a}^{x}}}-\dfrac{1}{{{b}^{x}}}-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ có $f\left( 1 \right)=0$ và ${f}'\left( x \right)=-{{\left( \dfrac{1}{a} \right)}^{x}}\ln a+{{\left( \dfrac{1}{b} \right)}^{x}}\ln b$
và ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( \dfrac{b}{a} \right)=\dfrac{\ln b}{\ln a}\Leftrightarrow x={{x}_{0}}={{\log }_{\dfrac{b}{a}}}\left( \dfrac{\ln b}{\ln a} \right)$.
Ta cũng có ${f}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow x>{{x}_{0}}$ ; ${f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow x<{{x}_{0}}$.
+ Nếu ${{x}_{0}}=1\Leftrightarrow {{\log }_{\dfrac{b}{a}}}\left( \dfrac{\ln b}{\ln a} \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{\ln b}{\ln a}=\dfrac{b}{a}\Leftrightarrow \dfrac{\ln b}{b}=\dfrac{\ln a}{a}\Leftrightarrow \left( a;b \right)=\left( 4;2 \right)$.
Chú ý: Xét hàm số $y=\dfrac{\ln x}{x}$ có $\dfrac{\ln 3}{3}>\dfrac{\ln 2}{2}=\dfrac{\ln 4}{4}>\dfrac{\ln 5}{5}>...>\dfrac{\ln 100}{100}$.
Khi đó $f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( 1 \right)=0\Rightarrow f\left( x \right)=0$ có đúng một nghiệm $x=1$.
+ Nếu ${{x}_{0}}\ne 1\Leftrightarrow \left( a;b \right)\ne \left( 4;2 \right)$ khi đó kẻ bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$, ta có phương trình $f\left( x \right)=0$ luôn có hai nghiệm thực phân biệt.
Với mỗi $b=k\in \left\{ 2;3;...;99 \right\}\Rightarrow a\in \left\{ k+1;...;100 \right\}$ tức có $100-k$ cách chọn $a$.
Vậy có cặp với và loại đi cặp có cặp thỏa mãn.