Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x ; y \right),$ với $x \le 2023$ thỏa mãn bất phương trình ${{4.2}^{\dfrac{{{\log }_{2}}x + 3y}{4}}} \ge x + {{3.2}^{y}}$
A. 30.
B. 23.
C. 11.
D. 10.
A. 30.
B. 23.
C. 11.
D. 10.
Với mọi cặp số nguyên dương $\left( x ; y \right)$ ta có: ${{4.2}^{\dfrac{{{\log }_{2}}x + 3y}{4}}} = 4.\sqrt[4]{{{2}^{{{\log }_{2}}x + 3y}}} = 4.\sqrt[4]{x{{.2}^{3y}}} $.
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số dương $x; {{2}^{y}}; {{2}^{y}}; {{2}^{y}}$ ta có: $x + {{3.2}^{y}} \ge 4.\sqrt[4]{x{{.2}^{3y}}} = {{4.2}^{\dfrac{{{\log }_{2}}x + 3y}{4}}} \left( 1 \right)$
Mà theo giả thiết ${{4.2}^{\dfrac{{{\log }_{2}}x + 3y}{4}}} \ge x + {{3.2}^{y}}$ suy ra dấu "=" tại $\left( 1 \right)$ xảy ra $\Leftrightarrow x = {{2}^{y}}$.
$\left( x ; y \right)$ nguyên dương, $x \le 2023$ suy ra $1\le y \le 10, y \in \mathbb{Z}.$
Vậy có 10 cặp số nguyên dương $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số dương $x; {{2}^{y}}; {{2}^{y}}; {{2}^{y}}$ ta có: $x + {{3.2}^{y}} \ge 4.\sqrt[4]{x{{.2}^{3y}}} = {{4.2}^{\dfrac{{{\log }_{2}}x + 3y}{4}}} \left( 1 \right)$
Mà theo giả thiết ${{4.2}^{\dfrac{{{\log }_{2}}x + 3y}{4}}} \ge x + {{3.2}^{y}}$ suy ra dấu "=" tại $\left( 1 \right)$ xảy ra $\Leftrightarrow x = {{2}^{y}}$.
$\left( x ; y \right)$ nguyên dương, $x \le 2023$ suy ra $1\le y \le 10, y \in \mathbb{Z}.$
Vậy có 10 cặp số nguyên dương $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn.
Đáp án D.