Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x,y \right)$ thỏa mãn...

Ta có
$\begin{aligned}
& {{\log }_{7}}\left( \dfrac{2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1}{6xy+1+2x+3y} \right)=14x+3y-7\left( {{x}^{2}}+1 \right) \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( \dfrac{\left( 2x+1 \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}}{\left( 2x+1 \right)\left( 3y+1 \right)} \right)=-7{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3y \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{7}}7{{\left( x-1 \right)}^{2}}+7{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{7}}\left( 3y+1 \right)+3y+1 \\
\end{aligned}$
Xét hàm số
$\begin{aligned}
& f\left( t \right)={{\log }_{7}}t+t (t>0) \\
& f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 7}+1>0 \forall t>0 \\
\end{aligned}$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Khi đó $f\left( 7{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right)=f\left( 3y+1 \right)\Rightarrow 3y+1=7{{\left( x-1 \right)}^{2}}$.
Với mỗi giá trị của $x$ cho một giá trị của $y$. Để $y$ nguyên thì $7{{\left( x-1 \right)}^{2}}$ chia 3 dư 1
$\Rightarrow x\vdots 3$ hoặc $x$ chia 3 dư 2.
$1<x<2022$. Trong các số từ 2 đến 2021 có 674 số nguyên chia 3 dư 1.
Vậy có $2021-674=1347$ giá trị nguyên của $x$ hay có 1347 cặp số nguyên $\left( x,y \right)$ thỏa mãn.