Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn...

Ta có $\left( 6xy+12y \right)\left( 2x+1 \right)\left( {{\text{e}}^{2xy}}-{{\text{e}}^{6x-y+12}} \right)=\left[ 2x\left( 3-y \right)-y+12 \right]{{\text{e}}^{-y}}$
$\Leftrightarrow \left( 6x+12 \right)\left( 2xy+y \right)\left( {{e}^{2xy+y}}-{{e}^{6x+12}} \right)=\left( 6x+12 \right)-\left( 2xy+y \right) \left( * \right)$
$\Leftrightarrow {{\text{e}}^{2xy+y}}-\dfrac{1}{2xy+y}={{\text{e}}^{6x+12}}-\dfrac{1}{6x+12}\Leftrightarrow f\left( 2xy+y \right)=f\left( 6x+12 \right)$ (1)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}-\dfrac{1}{t}$
Tập xác định $D=\left( 0;+\infty \right)$
có ${f}'\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}+\dfrac{1}{{{t}^{2}}}>0,\forall t\in D\Rightarrow {f}'\left( t \right)$ luôn đồng biến trên tập xác định (2)
Từ (1) và (2) suy ra $2xy+y=6x+12\Leftrightarrow y=\dfrac{6x+12}{2x+1}=3+\dfrac{9}{2x+1}$
mà $x,y\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $\left( 2x+1 \right)\in \text{¦}\left( 9 \right)$ $\Leftrightarrow 2x+1\in \left\{ 3;9 \right\}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1;y=6 \\
& x=4;y=4 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có $2$ cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.