Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn...

Ta có: $\begin{aligned}
& {{2}^{y}}+y=2x+{{\log }_{2}}\left( x+{{2}^{y-1}} \right)\Leftrightarrow {{2}^{y}}+y=2x+{{\log }_{2}}\left( 2x+{{2}^{y}} \right)-1 \\
& \Leftrightarrow \left( 2x+{{2}^{y}} \right)+{{\log }_{2}}\left( 2x+{{2}^{y}} \right)={{2}^{y+1}}+\left( y+1 \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+1\Rightarrow f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\ \forall t\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$\begin{aligned}
& f\left( {{\log }_{2}}\left( 2x+{{2}^{y}} \right) \right)=f\left( y+1 \right)\Rightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x+{{2}^{y}} \right)=y+1\Rightarrow 2x+{{2}^{y}}={{2}^{y+1}}\Rightarrow x={{2}^{y}} \\
& . \\
& y\in \mathbb{Z}\Rightarrow {{\log }_{2}}x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x={{2}^{n}}\left( n\in \mathbb{N} \right) \\
& 1\le x\le 2020\Rightarrow 1\le {{2}^{n}}\le 2020\Rightarrow 0\le n\le {{\log }_{2}}2020\approx 10,9\Rightarrow n=\left\{ 0;1;2;3;...;9;10 \right\} \\
\end{aligned}$
Vậy có 11 cặp số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.