Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $x<y$ và $4^x+4^y=32y-32x+48$.

Phương pháp giải:
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có: $4^x+4^y=32y-32x+48\iff 4^x+32x=32y-4^y+48$.
Vì $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast },x<y$ nên ta thử các TH sau:
+ Với $x=1,y=2$ ta có: $4+32=64-16+48\iff 36=96$ (Vô lí).
$\Rightarrow x\ge 2\Rightarrow VT=4^x+32x\ge 80\left(1\right)$.
Xét hàm số $f\left(y\right)=32y-4^y+48$ ta có $f^{\prime }\left(y\right)=32-4^y\ln 4=0\iff y={\log }_4{\displaystyle \frac{32}{\ln 4}}$.
BBT:

Vì $y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $f\left(y\right)=32y-4^y+48\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, dựa vào BBT $\Rightarrow f\left(y\right)\le 97\left(2\right)$.
Từ (1) và (2)
$\Rightarrow 80\le f\left(y\right)\le 97\Rightarrow 80\le VP\le 97\Rightarrow 80\le VT\le 97$ $\Rightarrow 80\le 4^x+32x\le 97(\ast )$.
Hàm số $g\left(x\right)=4^x+32x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó từ (*) ta suy ra $x=2$.
Với $x=2$ ta có $80=32y-4^y+48\iff 32y-4^y=32$, sử dụng MODE7 ta tìm được $y=3$.
Vậy có 1 cặp số $(x;y)$ thỏa mãn là $(x;y)=(2;3)$.