Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $x<y$ và ${{4}^{x}}+{{4}^{y}}=32y-32x+48$.

Phương pháp giải:
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có: ${{4}^{x}}+{{4}^{y}}=32y-32x+48\Leftrightarrow {{4}^{x}}+32x=32y-{{4}^{y}}+48$.
Vì $x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}},x<y$ nên ta thử các TH sau:
+ Với $x=1,y=2$ ta có: $4+32=64-16+48\Leftrightarrow 36=96$ (Vô lí).
$\Rightarrow x\ge 2\Rightarrow VT={{4}^{x}}+32x\ge 80\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( y \right)=32y-{{4}^{y}}+48$ ta có ${f}'\left( y \right)=32-{{4}^{y}}\ln 4=0\Leftrightarrow y={{\log }_{4}}\dfrac{32}{\ln 4}$.
BBT:

Vì $y\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ nên $f\left( y \right)=32y-{{4}^{y}}+48\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, dựa vào BBT $\Rightarrow f\left( y \right)\le 97\left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2)
$\Rightarrow 80\le f\left( y \right)\le 97\Rightarrow 80\le VP\le 97\Rightarrow 80\le VT\le 97$ $\Rightarrow 80\le {{4}^{x}}+32x\le 97\left( * \right)$.
Hàm số $g\left( x \right)={{4}^{x}}+32x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó từ (*) ta suy ra $x=2$.
Với $x=2$ ta có $80=32y-{{4}^{y}}+48\Leftrightarrow 32y-{{4}^{y}}=32$, sử dụng MODE7 ta tìm được $y=3$.
Vậy có 1 cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn là $\left( x;y \right)=\left( 2;3 \right)$.