Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( m,n \right)$ sao cho...

Xét phương trình $f\left( a \right)=2{{a}^{m}}-n\ln \left( a+\sqrt{{{a}^{2}}+1} \right)\Rightarrow {f}'\left( a \right)=2m{{a}^{m-1}}-\dfrac{n}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=0$
$\Rightarrow {{a}^{m-1}}\sqrt{{{a}^{2}}+1}=\dfrac{n}{2m}$ phải có 1 nghiệm ${{a}_{0}}<1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{n}{2m}<\sqrt{2} \\
& 0<{{a}_{0}}<1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{n}{m}<2\sqrt{2} \\
& 0<{{a}_{0}}<1 \\
\end{aligned} \right..$
Nếu m chẵn thì $f\left( a \right)=0$ chỉ tối đa 2 nghiệm. Do đó m lẻ khi đó nếu a là 1 nghiệm của phương trình thì $-a$ là 1 nghiệm của phương trình. Có $f\left( 0 \right)=0$ suy ra phương trình có đủ 3 nghiệm.
Do đó phương trình chỉ có duy nhất 1 nghiệm $0<a<1.$
Ta có bảng biến thiên:
$f\left( 1 \right)>0\Rightarrow 2-n\ln \left( 1+\sqrt{2} \right).0\Rightarrow n<2,269\Rightarrow n=1;n=2.$
Với $n=1$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \\
& m\le 11 \\
\end{aligned} \right. $ và $ m $ lẻ $ \Rightarrow $ Có cặp $ \left( m;n \right).$
Với $n=2$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& m\le 10 \\
\end{aligned} \right. $ và m lẻ $ \Rightarrow $ Có 5 cặp $ \left( m;n \right).$