Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số $\left( x;y \right)$ (trong đó $x,y$ nguyên dương thuộc đoạn $[0;2022]$ ) thỏa mãn điều kiện ${{2}^{x}}-{{\log }_{2}}\left( {{y}^{2}}+615 \right)={{y}^{2}}-x+615$.
A. $1$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $2$.
A. $1$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $2$.
Ta có ${{2}^{x}}-{{\log }_{2}}\left( {{y}^{2}}+615 \right)={{y}^{2}}-x+615$
$\Leftrightarrow x+{{2}^{x}}={{\log }_{2}}\left( {{y}^{2}}+615 \right)+\left( {{y}^{2}}+615 \right)$
$\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\left( {{y}^{2}}+615 \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{y}^{2}}+615$
Vì $y\in [0;2022]$ nên ${{y}^{2}}+615\in [615;{{2022}^{2}}+615]\Rightarrow x\in [10;21]$.
Bảng giá trị tương ứng:
Vậy ta có một cặp duy nhất thoả mãn bài toán là $x=12$ và $y=59$.
$\Leftrightarrow x+{{2}^{x}}={{\log }_{2}}\left( {{y}^{2}}+615 \right)+\left( {{y}^{2}}+615 \right)$
$\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\left( {{y}^{2}}+615 \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{y}^{2}}+615$
Vì $y\in [0;2022]$ nên ${{y}^{2}}+615\in [615;{{2022}^{2}}+615]\Rightarrow x\in [10;21]$.
Bảng giá trị tương ứng:
$x$ | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
$y$ | 20,2 | 37,8 | 59 | 87,5 | 125,6 | 179,3 | 254,8 | 361,2 | 511,4 | 723,7 | 1023,7 | 1447,9 |
Đáp án A.