Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số $\left( x; y \right)$ thỏa mãn tính chất ${{\left( {{\log }_{y}}x \right)}^{2021}}={{\log }_{y}}{{x}^{2021}}$, ở đó $x$ là số thực dương, $y$ là số nguyên dương nhỏ hơn $2021$.
A. $4038$.
B. $6057$.
C. $6060$.
D. $4040$.
A. $4038$.
B. $6057$.
C. $6060$.
D. $4040$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& y\in {{\mathbb{N}}^{*}}, 2\le y\le 2020 \\
\end{aligned} \right.$
${{\left( {{\log }_{y}}x \right)}^{2021}}={{\log }_{y}}{{x}^{2021}}\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{y}}x \right)}^{2021}}-2021.{{\log }_{y}}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{y}}x=0 \\
& {{\left( {{\log }_{y}}x \right)}^{2020}}=2021 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{\log }_{y}}x=\pm \sqrt[2020]{2021}=\pm a\ne \pm 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x={{y}^{\pm a}} \\
\end{aligned} \right.$
Với $x=1\Rightarrow y\in \left\{ 2;3;4;...;2020 \right\}\Rightarrow $ có $2019$ cặp $\left( x; y \right)$
$x={{y}^{\pm a}},$ có $2\le y\le 2020\Rightarrow $ có $2019.2=4038$ cặp $\left( x; y \right)$
Vậy có $6057$.
& x>0 \\
& y\in {{\mathbb{N}}^{*}}, 2\le y\le 2020 \\
\end{aligned} \right.$
${{\left( {{\log }_{y}}x \right)}^{2021}}={{\log }_{y}}{{x}^{2021}}\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{y}}x \right)}^{2021}}-2021.{{\log }_{y}}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{y}}x=0 \\
& {{\left( {{\log }_{y}}x \right)}^{2020}}=2021 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{\log }_{y}}x=\pm \sqrt[2020]{2021}=\pm a\ne \pm 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x={{y}^{\pm a}} \\
\end{aligned} \right.$
Với $x=1\Rightarrow y\in \left\{ 2;3;4;...;2020 \right\}\Rightarrow $ có $2019$ cặp $\left( x; y \right)$
$x={{y}^{\pm a}},$ có $2\le y\le 2020\Rightarrow $ có $2019.2=4038$ cặp $\left( x; y \right)$
Vậy có $6057$.
Đáp án B.