Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu bộ số $\left( x;y \right)$ trong đó $x\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, $y\in \mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $\ln \left( 2+3x+4y \right)=7x+4y-2023$ ?
A. $2023$.
B. $1011$.
C. $1012$.
D. $2024$.
A. $2023$.
B. $1011$.
C. $1012$.
D. $2024$.
Ta có $\ln \left( 2+3x+4y \right)=7x+4y-2023\Leftrightarrow \ln \left( 2+3x+4y \right)-\left( 2+3x+4y \right)=4x-2025$.
Đặt $t=2+3x+4y$, khi đó $VT=f\left( t \right)=\ln t-t$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}-1$, ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1$. Lập bảng biến thiên
Suy ra $4x-2025\le -1\Leftrightarrow x\le 506$. Vì $x\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ nên $1\le x\le 506$.
Với $x=506$, ta có $VP=-1\Rightarrow f\left( t \right)=-1\Leftrightarrow t=1$ suy ra có $1$ giá trị $y$ nên có $1$ bộ số $\left( x;y \right)$.
Với $1\le x\le 505$, ta có $VP<-1\Rightarrow f\left( t \right)=4x-2025$ có $2$ nghiệm $t$ suy ra có $2$ giá trị $y$ nên có $2\cdot 505=1010$ bộ số $\left( x;y \right)$.
Vậy có tất cả $1011$ bộ số $\left( x;y \right)$.
Đặt $t=2+3x+4y$, khi đó $VT=f\left( t \right)=\ln t-t$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}-1$, ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1$. Lập bảng biến thiên
Với $x=506$, ta có $VP=-1\Rightarrow f\left( t \right)=-1\Leftrightarrow t=1$ suy ra có $1$ giá trị $y$ nên có $1$ bộ số $\left( x;y \right)$.
Với $1\le x\le 505$, ta có $VP<-1\Rightarrow f\left( t \right)=4x-2025$ có $2$ nghiệm $t$ suy ra có $2$ giá trị $y$ nên có $2\cdot 505=1010$ bộ số $\left( x;y \right)$.
Vậy có tất cả $1011$ bộ số $\left( x;y \right)$.
Đáp án B.