Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu bộ $\left( x;y \right)$ với $x,y$ nguyên và $1\le x,y\le 2020$ thỏa mãn $\left( xy+2x+4y+8 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{2y}{y+2} \right)\le \left( 2x+3y-xy-6 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x+1}{x-3} \right)$ ?
A. $4034$.
B. $2$.
C. $2017$.
D. $2017\times 2020$.
& x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}:x,y\le 2020 \\
& \dfrac{2x+1}{x-3}>0,\dfrac{2y}{y+2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}:x,y\le 2020 \\
& x>3,y>0 \\
\end{aligned} \right.$.
BPT cho có dạng $\left( x-3 \right)\left( y-2 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4}{x-3}+1 \right)+\left( x+4 \right)\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{y-2}{y+2}+1 \right)\le 0$.
+ Xét $y=1$ thì thành $-\left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4}{x-3}+1 \right)+3\left( x+4 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right)\le 0$, rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi $x>3$ vì
$-\left( x-3 \right)<0;{{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4}{x-3}+1 \right)>{{\log }_{2}}\left( 0+1 \right)=0;3\left( x+4>0 \right);{{\log }_{3}}\dfrac{2}{3}<0$.
Như vậy trường hợp này cho ta đúng $2017$ bộ $\left( x;y \right)=\left( x,1 \right)$ với $4\le x\le 2020,x\in \mathbb{N}$.
+ Xét $y=2$ thì thành $4\left( x+4 \right){{\log }_{3}}1\le 0$, BPT này cũng luôn đúng với mọi $x$ mà $4\le x\le 2020,x\in \mathbb{N}$.
Trường hợp này cho ta $2017$ cặp $\left( x;y \right)$ nữa.
+ Với $y>2,x>3$ thì $VT\left( * \right)>0$ nên không xảy ra.
Vậy có đúng $4034$ bộ số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A. $4034$.
B. $2$.
C. $2017$.
D. $2017\times 2020$.
+ Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}& x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}:x,y\le 2020 \\
& \dfrac{2x+1}{x-3}>0,\dfrac{2y}{y+2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}:x,y\le 2020 \\
& x>3,y>0 \\
\end{aligned} \right.$.
BPT cho có dạng $\left( x-3 \right)\left( y-2 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4}{x-3}+1 \right)+\left( x+4 \right)\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{y-2}{y+2}+1 \right)\le 0$.
+ Xét $y=1$ thì thành $-\left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4}{x-3}+1 \right)+3\left( x+4 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{2}{3} \right)\le 0$, rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi $x>3$ vì
$-\left( x-3 \right)<0;{{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4}{x-3}+1 \right)>{{\log }_{2}}\left( 0+1 \right)=0;3\left( x+4>0 \right);{{\log }_{3}}\dfrac{2}{3}<0$.
Như vậy trường hợp này cho ta đúng $2017$ bộ $\left( x;y \right)=\left( x,1 \right)$ với $4\le x\le 2020,x\in \mathbb{N}$.
+ Xét $y=2$ thì thành $4\left( x+4 \right){{\log }_{3}}1\le 0$, BPT này cũng luôn đúng với mọi $x$ mà $4\le x\le 2020,x\in \mathbb{N}$.
Trường hợp này cho ta $2017$ cặp $\left( x;y \right)$ nữa.
+ Với $y>2,x>3$ thì $VT\left( * \right)>0$ nên không xảy ra.
Vậy có đúng $4034$ bộ số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.