Google
Câu hỏi: Có bao nhiêm giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin x$ có nghiệm thực?
A. 5.
B. 7.
C. 3.
D. 2.
A. 5.
B. 7.
C. 3.
D. 2.
Ta có $\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin x\Leftrightarrow \sqrt[3]{m+3\sin x}={{\sin }^{3}}x-m.$ (1)
Đặt $\sin x=u$. Điều kiện $-1\le u\le 1$ và $\sqrt[3]{m+3\sin x}=v\Rightarrow m+3u={{v}^{3}}$.(2)
Khi đó (1) trở thành ${{u}^{3}}=m+3v$ (3).
Từ (3) và (2) suy ra ${{u}^{3}}-3v={{v}^{3}}-3u\Leftrightarrow \left( u-v \right)\left( {{u}^{2}}+uv+{{v}^{2}}+3 \right)=0\Leftrightarrow u=v.$
(Do ${{u}^{3}}+uv+{{v}^{2}}+3={{\left( u+\dfrac{1}{2}v \right)}^{2}}+\dfrac{3{{v}^{2}}}{4}+3>0,\forall u,v\in \mathbb{R}$ ).
Suy ra: $\sqrt[3]{m+3u}=u\Leftrightarrow m={{u}^{3}}-3u,$ với $u\in \left[ -1;1 \right]$. Xét hàm số $f\left( u \right)={{u}^{3}}-3u$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$. Ta có ${f}'\left( u \right)=3{{u}^{2}}-3;{f}'\left( u \right)=0\Leftrightarrow u=\pm 1$. Suy ra $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( u \right)=2,\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( u \right)=-2$
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-2\le m\le 2$, mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 0;\pm 1;\pm 2 \right\}$
Chú ý:
Ta có thể xử lí ${{u}^{3}}-3v={{v}^{3}}-3u$ bằng phương pháp hàm đặc trưng, xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{t}^{3}}-3t$ dễ thấy hàm này nghịch biến trên $\left[ -1;1 \right]$, nên ta có $f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v.$
Đặt $\sin x=u$. Điều kiện $-1\le u\le 1$ và $\sqrt[3]{m+3\sin x}=v\Rightarrow m+3u={{v}^{3}}$.(2)
Khi đó (1) trở thành ${{u}^{3}}=m+3v$ (3).
Từ (3) và (2) suy ra ${{u}^{3}}-3v={{v}^{3}}-3u\Leftrightarrow \left( u-v \right)\left( {{u}^{2}}+uv+{{v}^{2}}+3 \right)=0\Leftrightarrow u=v.$
(Do ${{u}^{3}}+uv+{{v}^{2}}+3={{\left( u+\dfrac{1}{2}v \right)}^{2}}+\dfrac{3{{v}^{2}}}{4}+3>0,\forall u,v\in \mathbb{R}$ ).
Suy ra: $\sqrt[3]{m+3u}=u\Leftrightarrow m={{u}^{3}}-3u,$ với $u\in \left[ -1;1 \right]$. Xét hàm số $f\left( u \right)={{u}^{3}}-3u$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$. Ta có ${f}'\left( u \right)=3{{u}^{2}}-3;{f}'\left( u \right)=0\Leftrightarrow u=\pm 1$. Suy ra $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( u \right)=2,\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( u \right)=-2$
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-2\le m\le 2$, mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 0;\pm 1;\pm 2 \right\}$
Chú ý:
Ta có thể xử lí ${{u}^{3}}-3v={{v}^{3}}-3u$ bằng phương pháp hàm đặc trưng, xét hàm đặc trưng $f\left( t \right)={{t}^{3}}-3t$ dễ thấy hàm này nghịch biến trên $\left[ -1;1 \right]$, nên ta có $f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v.$
Đáp án A.