Google
Câu hỏi: Có 32 học sinh làm đề kiểm tra trắc nghiệm. Mỗi câu có 4 phương án trả lời, học sinh chỉ được chọn một phương án cho mỗi câu. Sau khi kiểm tra thấy rằng tất cả các câu đã được học sinh tô đáp án và bất kì 2 học sinh nào cũng có chung nhiều nhất 1 câu trả lời. Tìm giá trị lớn nhất của số câu trắc nghiệm trong đề kiểm tra.
A. 15 câu.
B. 20 câu.
C. 25 câu.
D. 30 câu.
A. 15 câu.
B. 20 câu.
C. 25 câu.
D. 30 câu.
Giả sử đề kiểm tra có n câu ${{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}}$ ; với mỗi câu ${{P}_{i}}$, gọi ${{a}_{i}}$ là số học sinh trả lời đáp án thứ nhất, tương tự có ${{b}_{i}},{{c}_{i}},{{d}_{i}}$. Khi đó ${{a}_{i}}+{{b}_{i}}+{{c}_{i}}+{{d}_{i}}=32$.
Ta có ít nhất $4.C_{4}^{2}=24$ cặp với 1 câu trả lời giống nhau cho mỗi câu.
Do có n câu nên có ít nhất $24n$ cặp, nhưng có nhiều nhất $C_{32}^{2}=496$ cặp.
Ta có: $24n\le 496\Leftrightarrow n\le \dfrac{62}{3}$. Do số câu là số nguyên nên $n=20$.
Do đó có nhiều nhất là 20 câu.
Ta có ít nhất $4.C_{4}^{2}=24$ cặp với 1 câu trả lời giống nhau cho mỗi câu.
Do có n câu nên có ít nhất $24n$ cặp, nhưng có nhiều nhất $C_{32}^{2}=496$ cặp.
Ta có: $24n\le 496\Leftrightarrow n\le \dfrac{62}{3}$. Do số câu là số nguyên nên $n=20$.
Do đó có nhiều nhất là 20 câu.
Đáp án B.