Google
Câu hỏi: Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chếc mũ "cách điệu" cho ông già Noel có hình dáng khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình bên. Biết rằng $OO'=5cm, OA=1cm, OB=20cm,$ đường cong AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A. Thể tích chiếc mũ bằng
A. $\dfrac{2750\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right).$
B. $\dfrac{2500\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right).$
C. $\dfrac{2050\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right).$
D. $\dfrac{2250\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right).$
A. $\dfrac{2750\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right).$
B. $\dfrac{2500\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right).$
C. $\dfrac{2050\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right).$
D. $\dfrac{2250\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right).$
Chia mặt cắt của chiếc mũ làm hai phần:
- Phần dưới OA là hình chữ nhật có hai kích thước 5cm; 20cm
Quay phần chữ nhật quanh trục OO', ta được khối trụ có R= OA = 10; h = OO' = 5
Do đó thể tích phần bên dưới là ${{V}_{1}}=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{.10}^{2}}.5=500\pi c{{m}^{3}}$
- Phần trên OA là hình (H) giới hạn bởi đường cong AB, đường thẳng OA
Quay hình (H) quanh trục OB ta được thể tích phần bên trên
Chọn hệ tọa độ Oxy, với $O\equiv O\left( 0;0 \right)\Rightarrow A\left( 10;0 \right)$ và $B\left( 0;20 \right)$
Dễ thấy parabol (P) có đỉnh A(10;0) và đi qua B(0;20)
Gọi phương trình $(P):y=a{{x}^{2}}+bx+c\to \left\{ \begin{aligned}
& y\left( 10 \right)=0 \\
& y'\left( 10 \right)=0 \\
& y\left( 0 \right)=20 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( a;b;c \right)=\left( \dfrac{1}{5};-4;20 \right)$
Do đó $y=\dfrac{1}{5}{{x}^{2}}-4x+20\Leftrightarrow {{x}^{2}}-20x+100-5y=0\Rightarrow x=10-\sqrt{5y}$
Quay đường cong $ $ quanh Oy, ta được thể tích phần trên là ${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{20}{{{\left( 10-\sqrt{5y} \right)}^{2}}dy}$
Vậy thể tích cần tính là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=500\pi +\dfrac{1000\pi }{3}=\dfrac{2500\pi }{3} c{{m}^{3}}$
- Phần dưới OA là hình chữ nhật có hai kích thước 5cm; 20cm
Quay phần chữ nhật quanh trục OO', ta được khối trụ có R= OA = 10; h = OO' = 5
Do đó thể tích phần bên dưới là ${{V}_{1}}=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{.10}^{2}}.5=500\pi c{{m}^{3}}$
- Phần trên OA là hình (H) giới hạn bởi đường cong AB, đường thẳng OA
Quay hình (H) quanh trục OB ta được thể tích phần bên trên
Chọn hệ tọa độ Oxy, với $O\equiv O\left( 0;0 \right)\Rightarrow A\left( 10;0 \right)$ và $B\left( 0;20 \right)$
Dễ thấy parabol (P) có đỉnh A(10;0) và đi qua B(0;20)
Gọi phương trình $(P):y=a{{x}^{2}}+bx+c\to \left\{ \begin{aligned}
& y\left( 10 \right)=0 \\
& y'\left( 10 \right)=0 \\
& y\left( 0 \right)=20 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( a;b;c \right)=\left( \dfrac{1}{5};-4;20 \right)$
Do đó $y=\dfrac{1}{5}{{x}^{2}}-4x+20\Leftrightarrow {{x}^{2}}-20x+100-5y=0\Rightarrow x=10-\sqrt{5y}$
Quay đường cong $ $ quanh Oy, ta được thể tích phần trên là ${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{20}{{{\left( 10-\sqrt{5y} \right)}^{2}}dy}$
Vậy thể tích cần tính là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=500\pi +\dfrac{1000\pi }{3}=\dfrac{2500\pi }{3} c{{m}^{3}}$
Đáp án B.