Google
Câu hỏi: Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ "cách điệu" cho ông già Noel có hình dáng khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình bên. Biết rằng $O{O}'=5cm,OA=1cm,OB=20cm$, đường cong $AB$ là một phần của một parabol có đỉnh là điểm $A.$ Thể tích chiếc mũ bằng
A. $\dfrac{2750\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right)$
B. $\dfrac{2500\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right)$
C. $\dfrac{2050\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right)$
D. $\dfrac{2250\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right)$
A. $\dfrac{2750\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right)$
B. $\dfrac{2500\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right)$
C. $\dfrac{2050\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right)$
D. $\dfrac{2250\pi }{3}\left( c{{m}^{3}} \right)$
HD: Chia mặt cắt của chiếc mũ làm hai phần:
Phần dưới $OA$ là hình chữ nhật có hai kích thước $5cm;20cm$
Quay hình chữ nhật quanh trục $O{O}'$, ta được khối trụ có $R=OA=10;h=O{O}'=5$
Do đó, thể tích phần bên dưới là ${{V}_{1}}=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{.10}^{2}}.5=500\pi c{{m}^{3}}$
Phần trên $OA$ là hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đường cong $AB,$ đường thẳng $OA$
Quay hình $\left( H \right)$ quanh trục $OB$ ta được thể tích phần bên trên
Chọn hệ tọa độ $Oxy,$ với $O\equiv O\left( 0;0 \right)\Rightarrow A\left( 10;0 \right)$ và $B\left( 0;20 \right)$
Dễ thấy parabol $\left( P \right)$ có đỉnh $A\left( 10;0 \right)$ và đi qua $B\left( 0;20 \right)$
Gọi phương trình $\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+bx+c\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{aligned}
& y\left( 10 \right)=0 \\
& {y}'\left( 10 \right)=0 \\
& y\left( 0 \right)=20 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( a;b;c \right)=\left( \dfrac{1}{5};-4;20 \right)$
Do đó $y=\dfrac{1}{5}{{x}^{2}}-4x+20\Leftrightarrow {{x}^{2}}-20x+100-5y=0\Rightarrow x=10-\sqrt{5}y$
Quay đường cong $ $ quanh $Oy$, ta được thể tích phần trên là ${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{20}{{{\left( 10-\sqrt{5y} \right)}^{2}}dy}$
Vậy thể tích cần tính là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=500\pi +\dfrac{1000\pi }{3}=\dfrac{2500\pi }{3}c{{m}^{3}}.$
Phần dưới $OA$ là hình chữ nhật có hai kích thước $5cm;20cm$
Quay hình chữ nhật quanh trục $O{O}'$, ta được khối trụ có $R=OA=10;h=O{O}'=5$
Do đó, thể tích phần bên dưới là ${{V}_{1}}=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{.10}^{2}}.5=500\pi c{{m}^{3}}$
Phần trên $OA$ là hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đường cong $AB,$ đường thẳng $OA$
Quay hình $\left( H \right)$ quanh trục $OB$ ta được thể tích phần bên trên
Chọn hệ tọa độ $Oxy,$ với $O\equiv O\left( 0;0 \right)\Rightarrow A\left( 10;0 \right)$ và $B\left( 0;20 \right)$
Dễ thấy parabol $\left( P \right)$ có đỉnh $A\left( 10;0 \right)$ và đi qua $B\left( 0;20 \right)$
Gọi phương trình $\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+bx+c\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{aligned}
& y\left( 10 \right)=0 \\
& {y}'\left( 10 \right)=0 \\
& y\left( 0 \right)=20 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( a;b;c \right)=\left( \dfrac{1}{5};-4;20 \right)$
Do đó $y=\dfrac{1}{5}{{x}^{2}}-4x+20\Leftrightarrow {{x}^{2}}-20x+100-5y=0\Rightarrow x=10-\sqrt{5}y$
Quay đường cong $ $ quanh $Oy$, ta được thể tích phần trên là ${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{20}{{{\left( 10-\sqrt{5y} \right)}^{2}}dy}$
Vậy thể tích cần tính là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=500\pi +\dfrac{1000\pi }{3}=\dfrac{2500\pi }{3}c{{m}^{3}}.$
Đáp án B.