Google
Câu hỏi: Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn A, đã làm một chiếc mũ "cách điệu" cho ông già Noel có hình dáng khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình bên. Biết rằng $O{O}'=5cm$, $OA=1cm$, $OB=20cm$, đường cong AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A. Thể tích chiếc mũ bằng
A. $\dfrac{2750\pi }{3}$.
B. $\dfrac{2500\pi }{3}$.
C. $\dfrac{2050\pi }{3}$.
D. $\dfrac{2250\pi }{3}$.
A. $\dfrac{2750\pi }{3}$.
B. $\dfrac{2500\pi }{3}$.
C. $\dfrac{2050\pi }{3}$.
D. $\dfrac{2250\pi }{3}$.
Chia mặt cắt của chiếc mũ làm hai phần:
• Phần dưới OA là hình chữ nhật có hai kích thước 5 cm; 20 cm
Quay hình chữ nhật quanh trục $O{O}'$ ta được khối trụ có $\left\{ \begin{aligned}
& R=OA=10 \\
& h=O{O}'=5 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó, thể tích phần bên dưới là ${{V}_{1}}=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{.10}^{2}}.5=500\pi c{{m}^{3}}$
• Phần trên OA là hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đường cong AB, đường thẳng OA
Quay hình $\left( H \right)$ quanh trục OB ta được thể tích phần bên trên
Chọn hệ tọa độ Oxy, với $O\equiv O\left( 0;0 \right)\Rightarrow A\left( 10;0 \right)$ và $B\left( 0;20 \right)$
Dễ thấy parabol $\left( P \right)$ có đỉnh $A\left( 10;0 \right)$ và đi qua $B\left( 0;20 \right)$
Gọi $\left( P \right)$ : $y=a{{x}^{2}}+bx+c\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y\left( 10 \right)=0 \\
& {y}'\left( 10 \right)=0 \\
& y\left( 0 \right)=20 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( a;b;c \right)=\left( \dfrac{1}{5};-4;20 \right)$
Do đó $y=\dfrac{1}{5}{{x}^{2}}-4x+20\Leftrightarrow {{x}^{2}}-20x+100-5y=0\Rightarrow x=10-\sqrt{5y}$
Quay đường cong $ $ quanh Oy, ta được thể tích phần trên là
${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{20}{{{\left( 10-\sqrt{5y} \right)}^{2}}dy}\Rightarrow V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=500\pi +\dfrac{1000\pi }{3}=\dfrac{2500\pi }{3}c{{m}^{3}}$
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right)$ ; $x=m$ ; $x=n$ là:
$V=\pi \int\limits_{n}^{m}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}$
• Phần dưới OA là hình chữ nhật có hai kích thước 5 cm; 20 cm
Quay hình chữ nhật quanh trục $O{O}'$ ta được khối trụ có $\left\{ \begin{aligned}
& R=OA=10 \\
& h=O{O}'=5 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó, thể tích phần bên dưới là ${{V}_{1}}=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{.10}^{2}}.5=500\pi c{{m}^{3}}$
• Phần trên OA là hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đường cong AB, đường thẳng OA
Quay hình $\left( H \right)$ quanh trục OB ta được thể tích phần bên trên
Chọn hệ tọa độ Oxy, với $O\equiv O\left( 0;0 \right)\Rightarrow A\left( 10;0 \right)$ và $B\left( 0;20 \right)$
Dễ thấy parabol $\left( P \right)$ có đỉnh $A\left( 10;0 \right)$ và đi qua $B\left( 0;20 \right)$
Gọi $\left( P \right)$ : $y=a{{x}^{2}}+bx+c\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y\left( 10 \right)=0 \\
& {y}'\left( 10 \right)=0 \\
& y\left( 0 \right)=20 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( a;b;c \right)=\left( \dfrac{1}{5};-4;20 \right)$
Do đó $y=\dfrac{1}{5}{{x}^{2}}-4x+20\Leftrightarrow {{x}^{2}}-20x+100-5y=0\Rightarrow x=10-\sqrt{5y}$
Quay đường cong $ $ quanh Oy, ta được thể tích phần trên là
${{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{20}{{{\left( 10-\sqrt{5y} \right)}^{2}}dy}\Rightarrow V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=500\pi +\dfrac{1000\pi }{3}=\dfrac{2500\pi }{3}c{{m}^{3}}$
Note 20: Phương pháp chung
Thể tích hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là: $V=\pi {{r}^{2}}h$.Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right)$ ; $x=m$ ; $x=n$ là:
$V=\pi \int\limits_{n}^{m}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}$
Đáp án B.