Google
Câu hỏi: Chọn ngẫu nhiên ba số phân biệt $a,b,c$ từ tập $S=\left\{ 1;2;3;...;30 \right\}$. Xác suất để ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$ chia hết cho 3 là
A. $\dfrac{68}{203}$.
B. $\dfrac{3}{58}$.
C. $\dfrac{18}{203}$.
D. $\dfrac{9}{29}$.
A. $\dfrac{68}{203}$.
B. $\dfrac{3}{58}$.
C. $\dfrac{18}{203}$.
D. $\dfrac{9}{29}$.
Chọn ngẫu nhiên ba số phân biệt $a,b,c$ từ tập $S=\left\{ 1;2;...;30 \right\}\Rightarrow \left| \Omega \right|=A_{30}^{3}$
Ta xét số $a$ và ${{a}^{3}}$ qua bảng sau
Nhận xét $a$ và ${{a}^{3}}$ có cùng số dư khi chia cho $3$.
Xét các tập con của $S=\left\{ 1;2;...;30 \right\}$ sau
$A=\left\{ 3;6;9;12;...;30 \right\}$ là các số chia hết cho $3$.
$B=\left\{ 1;4;7;10;...;28 \right\}$ là các số chia $3$ dư $1$.
$C=\left\{ 2;5;8;11;...;29 \right\}$ là các số chia $3$ dư $2$.
${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$ chia hết cho $3$ khi chọn $a,b,c$ trong các trường hợp sau
TH1: $a,b,c$ cùng chia hết cho $3$ $\Rightarrow a,b,c\in A\Rightarrow A_{10}^{3}$ cách chọn $a,b,c$.
TH2: $a,b,c$ cùng chia cho $3$ dư $1$ $\Rightarrow a,b,c\in B\Rightarrow A_{10}^{3}$ cách chọn $a,b,c$.
TH3: $a,b,c$ cùng chia cho $3$ dư $2$ $\Rightarrow a,b,c\in C\Rightarrow A_{10}^{3}$ cách chọn $a,b,c$.
TH4: $a,b,c$ có $1$ số chia $3$ dư $1$, một số chia $3$ dư $2$, một số chia hết cho $3$ $\Rightarrow {{6.10}^{3}}$ cách chọn $a,b,c$.
Vậy xác suất cần tìm là $P=\dfrac{3A_{10}^{3}+{{6.10}^{3}}}{A_{30}^{3}}=\dfrac{68}{203}$.
Ta xét số $a$ và ${{a}^{3}}$ qua bảng sau
$a$ | ${{a}^{3}}$ |
$a=3k$ | ${{a}^{3}}=27{{k}^{3}}$ |
$a=3k+1$ | ${{a}^{3}}={{\left( 3k+1 \right)}^{3}}=3q+1$ |
$a=3k+2$ | ${{a}^{3}}={{\left( 3k+2 \right)}^{3}}=3r+2$ |
Xét các tập con của $S=\left\{ 1;2;...;30 \right\}$ sau
$A=\left\{ 3;6;9;12;...;30 \right\}$ là các số chia hết cho $3$.
$B=\left\{ 1;4;7;10;...;28 \right\}$ là các số chia $3$ dư $1$.
$C=\left\{ 2;5;8;11;...;29 \right\}$ là các số chia $3$ dư $2$.
${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$ chia hết cho $3$ khi chọn $a,b,c$ trong các trường hợp sau
TH1: $a,b,c$ cùng chia hết cho $3$ $\Rightarrow a,b,c\in A\Rightarrow A_{10}^{3}$ cách chọn $a,b,c$.
TH2: $a,b,c$ cùng chia cho $3$ dư $1$ $\Rightarrow a,b,c\in B\Rightarrow A_{10}^{3}$ cách chọn $a,b,c$.
TH3: $a,b,c$ cùng chia cho $3$ dư $2$ $\Rightarrow a,b,c\in C\Rightarrow A_{10}^{3}$ cách chọn $a,b,c$.
TH4: $a,b,c$ có $1$ số chia $3$ dư $1$, một số chia $3$ dư $2$, một số chia hết cho $3$ $\Rightarrow {{6.10}^{3}}$ cách chọn $a,b,c$.
Vậy xác suất cần tìm là $P=\dfrac{3A_{10}^{3}+{{6.10}^{3}}}{A_{30}^{3}}=\dfrac{68}{203}$.
Đáp án A.