Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}\text{d}x}=a\ln \dfrac{3}{2}+b\ln c$, với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Giá trị của $5a+15b-11c$ bằng
A. $-12$.
B. $-15$.
C. $14$.
D. $9$.
A. $-12$.
B. $-15$.
C. $14$.
D. $9$.
Ta có
$\dfrac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}=\dfrac{2x+1}{\left( x-1 \right)\left( 3x+2 \right)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{3x+2}\Rightarrow 2x+1\equiv A\left( 3x+2 \right)+B\left( x-1 \right)$
Khi đó, dùng kỹ thuật đồng nhất hệ số ta được
Cho $x=1\Rightarrow A=\dfrac{3}{5}$.
Cho $x=0\Rightarrow B=\dfrac{1}{5}$.
Khi đó ta có
$\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}\text{d}x}=\int\limits_{3}^{4}{\left( \dfrac{3}{5\left( x-1 \right)}+\dfrac{1}{5\left( 3x+2 \right)} \right)}\text{d}x=\left. \left( \dfrac{3}{5}\ln \left| x-1 \right|+\dfrac{1}{15}\ln \left| 3x+2 \right| \right) \right|_{3}^{4}$
$=\dfrac{3}{5}\ln \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{15}\ln \dfrac{16}{11}$
$\Rightarrow a=\dfrac{3}{5},b=\dfrac{1}{15},c=\dfrac{16}{11}\Rightarrow 5a+15b-11c=-12$
$\dfrac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}=\dfrac{2x+1}{\left( x-1 \right)\left( 3x+2 \right)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{3x+2}\Rightarrow 2x+1\equiv A\left( 3x+2 \right)+B\left( x-1 \right)$
Khi đó, dùng kỹ thuật đồng nhất hệ số ta được
Cho $x=1\Rightarrow A=\dfrac{3}{5}$.
Cho $x=0\Rightarrow B=\dfrac{1}{5}$.
Khi đó ta có
$\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}\text{d}x}=\int\limits_{3}^{4}{\left( \dfrac{3}{5\left( x-1 \right)}+\dfrac{1}{5\left( 3x+2 \right)} \right)}\text{d}x=\left. \left( \dfrac{3}{5}\ln \left| x-1 \right|+\dfrac{1}{15}\ln \left| 3x+2 \right| \right) \right|_{3}^{4}$
$=\dfrac{3}{5}\ln \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{15}\ln \dfrac{16}{11}$
$\Rightarrow a=\dfrac{3}{5},b=\dfrac{1}{15},c=\dfrac{16}{11}\Rightarrow 5a+15b-11c=-12$
Đáp án A.