Google
Câu hỏi: Cho $I=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{\dfrac{1}{{{x}^{8}}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}}dx}=a\sqrt{2}-b\sqrt{5}$ với $a, b$ là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức $a+b$ bằng
A. $\dfrac{11}{4}$
B. $\dfrac{7}{8}$
C. $\dfrac{11}{5}$
D. $\dfrac{7}{4}$
A. $\dfrac{11}{4}$
B. $\dfrac{7}{8}$
C. $\dfrac{11}{5}$
D. $\dfrac{7}{4}$
Ta có $I=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{\dfrac{1}{{{x}^{8}}}+\dfrac{1}{{{x}^{6}}}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}\dfrac{1}{{{x}^{3}}}dx}$. Đặt $t=\sqrt{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}\Rightarrow {{t}^{2}}=1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow 2tdt=-\dfrac{2}{{{x}^{3}}}dx$
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\to t=\sqrt{2} \\
& x=2\Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right. $. Khi đó $ I=\int\limits_{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}^{\sqrt{2}}{{{t}^{2}}dt}=\dfrac{{{t}^{3}}}{3}\left| \begin{aligned}
& ^{\sqrt{2}} \\
& _{\dfrac{\sqrt{5}}{2}} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}-\dfrac{5\sqrt{5}}{24}$
Vậy $a=\dfrac{2}{3}, b=\dfrac{5}{24}\Rightarrow a+b=\dfrac{7}{8}$
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\to t=\sqrt{2} \\
& x=2\Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right. $. Khi đó $ I=\int\limits_{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}^{\sqrt{2}}{{{t}^{2}}dt}=\dfrac{{{t}^{3}}}{3}\left| \begin{aligned}
& ^{\sqrt{2}} \\
& _{\dfrac{\sqrt{5}}{2}} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}-\dfrac{5\sqrt{5}}{24}$
Vậy $a=\dfrac{2}{3}, b=\dfrac{5}{24}\Rightarrow a+b=\dfrac{7}{8}$
Đáp án B.