Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+3}{x+2}}dx=\dfrac{1}{a}+b.\ln \dfrac{3}{2}$ với với a, blà các số thực dương. Có bao nhiêu giá trị nguyên của k để $5f\int\limits_{8}^{ab}{dx>}\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{({{k}^{2}}+1).x+2017}{x+2018}$ ?
A. 5
B. 3
C. Vô số
D. 7
A. 5
B. 3
C. Vô số
D. 7
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+3}{x+2}dx=}\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{3}{x+2} \right)dx}$
$=\left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}+3\ln \left| x+2 \right| \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}+3.ln\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{a}+b.\ln \dfrac{3}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $5.\int\limits_{8}^{ab}{dx=5.\int\limits_{8}^{9}{dx=5}}$ mà $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{({{k}^{2}}+1).x+2017}{x+2018}={{k}^{2}}+1$
Suy ra ${{k}^{2}}+1<5\Leftrightarrow {{k}^{2}}-4<0\Leftrightarrow -2<k<2$
Kết hợp $k\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}$ có tất cả 3 giá trị nguyên k cần tìm.
$=\left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}+3\ln \left| x+2 \right| \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}+3.ln\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{a}+b.\ln \dfrac{3}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $5.\int\limits_{8}^{ab}{dx=5.\int\limits_{8}^{9}{dx=5}}$ mà $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{({{k}^{2}}+1).x+2017}{x+2018}={{k}^{2}}+1$
Suy ra ${{k}^{2}}+1<5\Leftrightarrow {{k}^{2}}-4<0\Leftrightarrow -2<k<2$
Kết hợp $k\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}$ có tất cả 3 giá trị nguyên k cần tìm.
Đáp án B.