Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{0}^{1}{3{{e}^{\sqrt{3x+1}}}dx}=\dfrac{a{{e}^{2}}}{5}+\dfrac{be}{3}+c$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Giá trị của $a+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{3}$ bằng
A. 6.
B. 9.
C. 10.
D. 5.
A. 6.
B. 9.
C. 10.
D. 5.
Đặt $t=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=3x+1\Leftrightarrow 2tdt=3dx$
Và đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\xrightarrow[{}]{{}}t=1 \\
& x=1\xrightarrow[{}]{{}}t=2 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $I=\int\limits_{1}^{2}{2t.{{e}^{t}}dt}$. Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=t \\
& dv={{e}^{t}}dt \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dt \\
& v={{e}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $I=\left. 2t.{{e}^{t}} \right|_{1}^{2}-2.\int\limits_{1}^{2}{{{e}^{t}}dt}=4{{e}^{2}}-2e-2\left( {{e}^{2}}-e \right)=2{{e}^{2}}$
Vậy $2{{e}^{2}}=\dfrac{a{{e}^{2}}}{5}+\dfrac{be}{3}+c\Rightarrow a=10;b=0;c=0\Rightarrow a+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{3}=10$.
Và đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\xrightarrow[{}]{{}}t=1 \\
& x=1\xrightarrow[{}]{{}}t=2 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $I=\int\limits_{1}^{2}{2t.{{e}^{t}}dt}$. Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=t \\
& dv={{e}^{t}}dt \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dt \\
& v={{e}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $I=\left. 2t.{{e}^{t}} \right|_{1}^{2}-2.\int\limits_{1}^{2}{{{e}^{t}}dt}=4{{e}^{2}}-2e-2\left( {{e}^{2}}-e \right)=2{{e}^{2}}$
Vậy $2{{e}^{2}}=\dfrac{a{{e}^{2}}}{5}+\dfrac{be}{3}+c\Rightarrow a=10;b=0;c=0\Rightarrow a+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{3}=10$.
Đáp án C.