Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx=\dfrac{a}{3}+b\ln 2+c\ln 3}$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b+c$ bằng
A. 1
B. 2
C. 7
D. 9
A. 1
B. 2
C. 7
D. 9
Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow x={{t}^{2}}-1\Rightarrow dx=2tdt$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1;x=3\Rightarrow t=2$
Khi đó: $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{4+2t}.2tdt}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{t}^{3}}-t}{t+2}dt}=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{t}^{2}}-2t+3-\dfrac{6}{t+2} \right)dt}$
$=\left( \dfrac{{{t}^{3}}}{3}-{{t}^{2}}+3t-6\ln \left| t+2 \right| \right)\left| _{_{1_{{}}^{{}}}^{{}}}^{_{{}}^{2}} \right.=\dfrac{7}{3}-12\ln 2+6ln3$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=7 \\
& b=-12\Rightarrow a+b+c=1 \\
& c=6 \\
\end{aligned} \right.$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1;x=3\Rightarrow t=2$
Khi đó: $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{4+2t}.2tdt}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{t}^{3}}-t}{t+2}dt}=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{t}^{2}}-2t+3-\dfrac{6}{t+2} \right)dt}$
$=\left( \dfrac{{{t}^{3}}}{3}-{{t}^{2}}+3t-6\ln \left| t+2 \right| \right)\left| _{_{1_{{}}^{{}}}^{{}}}^{_{{}}^{2}} \right.=\dfrac{7}{3}-12\ln 2+6ln3$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=7 \\
& b=-12\Rightarrow a+b+c=1 \\
& c=6 \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án A.