T

Cho...

Tác giả The Professor
Creation date 16/12/21
Tags

trắc nghiệm toán 12

Đăng kí nhanh tài khoản với

16/12/21

Câu hỏi: Cho

\int_{0}^{2} \frac{x}{x^{2} + 2 x + 4} d x = a \ln 3 + b π

với a, b là các số thực. Giá trị của

a^{2} + 3 b^{2}

bằng
A.

\frac{7}{27}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{5}{18}

D.

\frac{35}{144}

Ta có:

\int_{0}^{2} \frac{x}{x^{2} + 2 x + 4} d x = \int_{0}^{2} (\frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{1}{x^{2} + 2 x + 4}) d x

= \int_{0}^{2} \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 4} d x - \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2} + 2 x + 4} d x

.
Tính

I_{1} = \int_{0}^{2} \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 4} d x = {\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 2 x + 4) |}_{0}^{2} = \frac{1}{2} (\ln 12 - \ln 4) = \frac{1}{2} \ln 3

.
Tính

I_{2} = \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2} + 2 x + 4} d x = \int_{0}^{2} \frac{1}{{(x + 1)}^{2} + 3} d x

.
Đặt

x + 1 = \sqrt{3} \tan u \Rightarrow d x = \frac{\sqrt{3}}{\cos^{2} u} d u

. Đổi cận:

x = 0 \Rightarrow u = \frac{π}{6}

và

x = 2 \Rightarrow u = \frac{π}{3}

.
Suy ra

I_{2} = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{3}}{\cos^{2} u} . \frac{1}{3 (1 + \tan^{2} u)} d u = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} d u = \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{π}{3} - \frac{π}{6}) = \frac{π}{6 \sqrt{3}}

.
Vậy

\int_{0}^{2} \frac{x}{x^{2} + 2 x + 4} d x = I_{1} - I_{2} = \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{π}{6 \sqrt{3}}

.
Suy ra

a^{2} + 3 b^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} + 3. {(\frac{1}{6 \sqrt{3}})}^{2} = \frac{5}{18}

.

Đáp án C.

Click để xem thêm...

Câu hỏi này có trong đề thi

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2021 môn Toán - Nhóm GV MGB - Đề 13

50 câu hỏi
90 phút
3 lượt thi

Bắt đầu thi

Bạn phải đăng nhập hoặc đăng kí để trả lời.

Chia sẻ:

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Link

Quảng cáo

Top