Google
Câu hỏi: Cho $z$, $w$ $\in \mathbb{C}$ thỏa $\left| z+2 \right|=\left| \overline{z} \right|,\ \left| z+i \right|=\left| z-i \right|,\ \left| w-2-3i \right|\le 2\sqrt{2},$ $\left| \overline{w}-5+6i \right|\le 2\sqrt{2}$. Giá trị lớn nhất $\left| z-w \right|$ bằng
A. $5\sqrt{2}$.
B. $4\sqrt{2}$.
C. $3\sqrt{2}$.
D. $6\sqrt{2}$.
Giả sử $z=x+yi,\ \left( x, y\in \mathbb{R} \right)$. Gọi $M\left( x ; y \right)$ là điểm biểu diễn của $z$ trên $mp\left( Oxy \right)$.
Ta có:
+) $\left| z+2 \right|=\left| \overline{z} \right|\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow x+1=0\quad \left( {{d}_{1}} \right)$.
+) $\left| z+i \right|=\left| z-i \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow y=0\ \ \ \left( {{d}_{2}} \right)$.
Khi đó $M=\left( {{d}_{1}} \right)\cap \left( {{d}_{2}} \right)\Rightarrow M\left( -1 ; 0 \right)$.
Giả sử $w=a+bi,\ \left( a, b\in \mathbb{R} \right)$. Gọi $N\left( a ; b \right)$ là điểm biểu diễn của $w$ trên $mp\left( Oxy \right)$.
Ta có:
+) $\left| w-2-3i \right|\le 2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}\le 8\quad \left( {{C}_{1}} \right)$.
+) $\left| \overline{w}-5+6i \right|\le 2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( a-5 \right)}^{2}}+{{\left( b-6 \right)}^{2}}\le 8\quad \left( {{C}_{2}} \right)$.
Với $\left( {{C}_{1}} \right)$ là hình tròn tâm $I\left( 2 ; 3 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=2\sqrt{2}$ ;
$\left( {{C}_{2}} \right)$ là hình tròn tâm $J\left( 5 ; 6 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=2\sqrt{2}$.
Khi đó $N$ thuộc miền chung của hai hình tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ ( hình vẽ).
Ta có: $\left| z-w \right|=MN$.
Ta có: $\overrightarrow{MI}=\left( 3 ; 3 \right);\ \overrightarrow{IJ}=\left( 3 ; 3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\ \overrightarrow{IJ}$.
Như vậy ba điểm $M, I, J$ thẳng hàng.
Do đó: $MN$ lớn nhất khi và chỉ khi $N=MJ\cap \left( {{C}_{1}} \right)\Rightarrow M{{N}_{\max }}=MI+IN=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.
A. $5\sqrt{2}$.
B. $4\sqrt{2}$.
C. $3\sqrt{2}$.
D. $6\sqrt{2}$.
Giả sử $z=x+yi,\ \left( x, y\in \mathbb{R} \right)$. Gọi $M\left( x ; y \right)$ là điểm biểu diễn của $z$ trên $mp\left( Oxy \right)$.
Ta có:
+) $\left| z+2 \right|=\left| \overline{z} \right|\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow x+1=0\quad \left( {{d}_{1}} \right)$.
+) $\left| z+i \right|=\left| z-i \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow y=0\ \ \ \left( {{d}_{2}} \right)$.
Khi đó $M=\left( {{d}_{1}} \right)\cap \left( {{d}_{2}} \right)\Rightarrow M\left( -1 ; 0 \right)$.
Giả sử $w=a+bi,\ \left( a, b\in \mathbb{R} \right)$. Gọi $N\left( a ; b \right)$ là điểm biểu diễn của $w$ trên $mp\left( Oxy \right)$.
Ta có:
+) $\left| w-2-3i \right|\le 2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}\le 8\quad \left( {{C}_{1}} \right)$.
+) $\left| \overline{w}-5+6i \right|\le 2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( a-5 \right)}^{2}}+{{\left( b-6 \right)}^{2}}\le 8\quad \left( {{C}_{2}} \right)$.
Với $\left( {{C}_{1}} \right)$ là hình tròn tâm $I\left( 2 ; 3 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=2\sqrt{2}$ ;
$\left( {{C}_{2}} \right)$ là hình tròn tâm $J\left( 5 ; 6 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=2\sqrt{2}$.
Khi đó $N$ thuộc miền chung của hai hình tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ ( hình vẽ).
Ta có: $\left| z-w \right|=MN$.
Ta có: $\overrightarrow{MI}=\left( 3 ; 3 \right);\ \overrightarrow{IJ}=\left( 3 ; 3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\ \overrightarrow{IJ}$.
Như vậy ba điểm $M, I, J$ thẳng hàng.
Do đó: $MN$ lớn nhất khi và chỉ khi $N=MJ\cap \left( {{C}_{1}} \right)\Rightarrow M{{N}_{\max }}=MI+IN=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.
Đáp án A.