Google
Câu hỏi: Cho z và w là các số phức thỏa mãn các điều kiện $z\left( w+1 \right)+iw-1=0,\left| w+2 \right|=1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\left| z-1-3i \right|$ bằng:
A. $2\sqrt{2}.$
B. $4\sqrt{2}.$
C. $3\sqrt{2}.$
D. $5\sqrt{2}.$
A. $2\sqrt{2}.$
B. $4\sqrt{2}.$
C. $3\sqrt{2}.$
D. $5\sqrt{2}.$
$w\left( z+i \right)=1-z\Rightarrow w=\dfrac{1-z}{z+i}$
Khi đó: $\left| w+2 \right|=1\Rightarrow \left| \dfrac{1-z}{z+i}+2 \right|=1\Rightarrow \left| z+2i+1 \right|=\left| z+i \right|\Rightarrow \left| 2i+1+a+bi \right|=\left| a+bi+i \right|$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}\Rightarrow a=-b-2 \\
& \Rightarrow T=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( b+3 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{b}^{2}}+18}\ge \sqrt{18}=3\sqrt{2}. \\
\end{aligned}$
Khi đó: $\left| w+2 \right|=1\Rightarrow \left| \dfrac{1-z}{z+i}+2 \right|=1\Rightarrow \left| z+2i+1 \right|=\left| z+i \right|\Rightarrow \left| 2i+1+a+bi \right|=\left| a+bi+i \right|$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}\Rightarrow a=-b-2 \\
& \Rightarrow T=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( b+3 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{b}^{2}}+18}\ge \sqrt{18}=3\sqrt{2}. \\
\end{aligned}$
Đáp án C.