Google
Câu hỏi: Cho z là số phức thỏa mãn $z+\dfrac{1}{z}=1$. Tính giá trị của $P={{z}^{2017}}+\dfrac{1}{{{z}^{2017}}}$
A. $P=2.$
B. $P=-2.$
C. $P=-1.$
D. $P=1.$
A. $P=2.$
B. $P=-2.$
C. $P=-1.$
D. $P=1.$
Ta có $z+\dfrac{1}{z}=1\Leftrightarrow {{z}^{2}}-z+1=0\Leftrightarrow z=\dfrac{1\pm \sqrt{3}i}{2}.$
Ta thấy $z=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{z}=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}=\overline{z}$ và ngược lại $z=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{z}=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}=\overline{z}.$
Do đó $P={{z}^{2017}}+\dfrac{1}{{{z}^{2017}}}={{z}^{2017}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2017}}=2\operatorname{Re}\left( {{z}^{2017}} \right)$ ( với $\operatorname{Re}\left( {{z}^{2017}} \right)$ là phần thực của ${{z}^{2017}}$ ).
Xét $z=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\Rightarrow {{z}^{3}}={{\left( \dfrac{1+\sqrt{3}i}{2} \right)}^{3}}=-1\Rightarrow {{z}^{2017}}={{\left( {{z}^{3}} \right)}^{672}}.z={{\left( -1 \right)}^{672}}.\left( \dfrac{1+\sqrt{3}i}{2} \right)=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}.$
$\Rightarrow \operatorname{Re}\left( {{z}^{2017}} \right)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow P=1.$
Ta thấy $z=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{z}=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}=\overline{z}$ và ngược lại $z=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{z}=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}=\overline{z}.$
Do đó $P={{z}^{2017}}+\dfrac{1}{{{z}^{2017}}}={{z}^{2017}}+{{\left( \overline{z} \right)}^{2017}}=2\operatorname{Re}\left( {{z}^{2017}} \right)$ ( với $\operatorname{Re}\left( {{z}^{2017}} \right)$ là phần thực của ${{z}^{2017}}$ ).
Xét $z=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\Rightarrow {{z}^{3}}={{\left( \dfrac{1+\sqrt{3}i}{2} \right)}^{3}}=-1\Rightarrow {{z}^{2017}}={{\left( {{z}^{3}} \right)}^{672}}.z={{\left( -1 \right)}^{672}}.\left( \dfrac{1+\sqrt{3}i}{2} \right)=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}.$
$\Rightarrow \operatorname{Re}\left( {{z}^{2017}} \right)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow P=1.$
Đáp án D.