Google
Câu hỏi: Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn số phức $w=\dfrac{z+3+4i}{z-i}$ là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là:
A. đường elip bỏ đi một điểm.
B. đường thẳng song song với trục tung.
C. đường tròn bỏ đi một điểm.
D. đường thẳng bỏ đi một điểm.
A. đường elip bỏ đi một điểm.
B. đường thẳng song song với trục tung.
C. đường tròn bỏ đi một điểm.
D. đường thẳng bỏ đi một điểm.
Điều kiện: $z\ne i$.
Giả sử: $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có: $\begin{aligned}
& w=\dfrac{z+3+4i}{z-i}=\dfrac{x+3+\left( y+4 \right)i}{x+\left( y-1 \right)i}=\dfrac{\left[ \left( x+3 \right)+\left( y+4 \right)i \right]\left[ x-\left( y-1 \right)i \right]}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}} \\
& \ \ \ =\dfrac{x\left( x+3 \right)+\left( y+4 \right)\left( y-1 \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}-\dfrac{\left( x+3 \right)\left( y-1 \right)-x\left( y+4 \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}i \\
\end{aligned}$
Do w là số thuần ảo nên $\dfrac{x\left( x+3 \right)+\left( y+4 \right)\left( y-1 \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow {{x}^{2}}+3x+{{y}^{2}}+3y-4=0\ \ \ \left( 1 \right)$
Thay $x=0;y=1$ vào (1) thỏa mãn.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn bỏ đi một điểm.
Giả sử: $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có: $\begin{aligned}
& w=\dfrac{z+3+4i}{z-i}=\dfrac{x+3+\left( y+4 \right)i}{x+\left( y-1 \right)i}=\dfrac{\left[ \left( x+3 \right)+\left( y+4 \right)i \right]\left[ x-\left( y-1 \right)i \right]}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}} \\
& \ \ \ =\dfrac{x\left( x+3 \right)+\left( y+4 \right)\left( y-1 \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}-\dfrac{\left( x+3 \right)\left( y-1 \right)-x\left( y+4 \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}i \\
\end{aligned}$
Do w là số thuần ảo nên $\dfrac{x\left( x+3 \right)+\left( y+4 \right)\left( y-1 \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow {{x}^{2}}+3x+{{y}^{2}}+3y-4=0\ \ \ \left( 1 \right)$
Thay $x=0;y=1$ vào (1) thỏa mãn.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn bỏ đi một điểm.
Đáp án C.