Cho $z=\dfrac{-8+6i}{5+5i}$ là một nghiệm phức của phương trình...

${{z}_{1}}=\dfrac{-8+6i}{5+5i}=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{7i}{5}$ là một nghiệm phức của phương trình $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ nên ${{z}_{2}}=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{7i}{5}$ cũng là nghiệm của phương trình.
Theo Vi-et ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\dfrac{b}{a} \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\dfrac{c}{a} \\
\end{aligned} \right. $. Do đó $ \left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{2}{5}=-\dfrac{b}{a} \\
& 2=\dfrac{c}{a} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2a=5b \\
& c=2a \\
\end{aligned} \right.$
Do $a,b,c\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow a=5k , b=2k , c=10k (k\in {{\mathbb{Z}}^{+}})$
$\Rightarrow F=a+b+c=17k\ge 17.$
Vậy Giá trị nhỏ nhất của $F=a+b+c$ là 17. Dấu $=$ xảy ra khi $a=5;b=2;c=10$.