Google
Câu hỏi: Cho ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là nghiệm phương trình $\left| 6-3i+iz \right|=\left| 2z-6-9i \right|$ và thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{8}{5}$. Giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $5$.
B. $\dfrac{56}{5}$.
C. $\dfrac{28}{5}$.
D. $6$.
A. $5$.
B. $\dfrac{56}{5}$.
C. $\dfrac{28}{5}$.
D. $6$.
Gọi ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i, {{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i$, với ${{x}_{1}},{{y}_{1}},{{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R}$.
Do $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{8}{5}$ $\Rightarrow \left| \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)i \right|=\dfrac{8}{5}$ $\Rightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{8}{5}$
Gọi ${{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, ${{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ $\Rightarrow {{M}_{1}}{{M}_{2}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{8}{5}$.
Mà ${{z}_{1}}$ là nghiệm phương trình $\left| 6-3i+iz \right|=\left| 2z-6-9i \right|$
$\Rightarrow \left| \left( 6-{{y}_{1}} \right)+\left( {{x}_{1}}-3 \right)i \right|=\left| \left( 2{{x}_{1}}-6 \right)+\left( 2{{y}_{1}}-9 \right)i \right|$ $\Rightarrow \sqrt{{{\left( 6-{{y}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2{{x}_{1}}-6 \right)}^{2}}+{{\left( 2{{y}_{1}}-9 \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-6{{x}_{1}}-8{{y}_{1}}+24=0$ $\Rightarrow {{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\in $ đường tròn $(C):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y+24=0$.
Tương tự ${{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\in \left( C \right)$.
Đường tròn $(C)$ có tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=1$.
Goị $M$ là trung điểm ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ $\Rightarrow IM\bot {{M}_{1}}{{M}_{2}}$, $IM=\sqrt{{{R}^{2}}-{{M}_{1}}{{M}^{2}}}=\sqrt{1-{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{2}}}=\dfrac{3}{5}$, và $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2OM$.
Mà $OM\le OI+IM$, dấu bằng xảy ra khi $O, I,M$ thẳng hàng. Khi đó $OM\bot {{M}_{1}}{{M}_{2}}$, và $OM=OI+IM=\dfrac{28}{5}$.
$\Rightarrow $ $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ đạt giá trị lớn nhất bằng $2\left( OI+IM \right)$, bằng $\dfrac{56}{5}$.
Hoặc đánh giá Đáp án đáp án như sau:
Gọi $N\left( -{{x}_{2}};-{{y}_{2}} \right)$ $\Rightarrow N{{M}_{1}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$
Và $N$ đối xứng với ${{M}_{2}}$ qua gốc tọa độ $O$, $N\in $ đường tròn $({{C}_{1}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x+8y+24=0$.
$({{C}_{1}})$ có tâm ${{I}_{1}}\left( -3;-4 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=1$, $({{C}_{1}})$ đối xứng với $\left( C \right)$ qua gốc tọa độ $O$.
Có ${{I}_{1}}I=10$ $\Rightarrow {{I}_{1}}I-R-{{R}_{1}}=8$.
Nhận xét: với mọi điểm ${{M}_{1}}\in \left( C \right)$, $N\in \left( {{C}_{1}} \right)$ thì ${{M}_{1}}N\ge {{I}_{1}}I-R-{{R}_{1}}$. Loại các đáp án B,C,D
$\Rightarrow $ $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|={{M}_{1}}N$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{56}{5}$.
Do $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{8}{5}$ $\Rightarrow \left| \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)i \right|=\dfrac{8}{5}$ $\Rightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{8}{5}$
Gọi ${{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$, ${{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ $\Rightarrow {{M}_{1}}{{M}_{2}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{8}{5}$.
Mà ${{z}_{1}}$ là nghiệm phương trình $\left| 6-3i+iz \right|=\left| 2z-6-9i \right|$
$\Rightarrow \left| \left( 6-{{y}_{1}} \right)+\left( {{x}_{1}}-3 \right)i \right|=\left| \left( 2{{x}_{1}}-6 \right)+\left( 2{{y}_{1}}-9 \right)i \right|$ $\Rightarrow \sqrt{{{\left( 6-{{y}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2{{x}_{1}}-6 \right)}^{2}}+{{\left( 2{{y}_{1}}-9 \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-6{{x}_{1}}-8{{y}_{1}}+24=0$ $\Rightarrow {{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\in $ đường tròn $(C):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y+24=0$.
Tương tự ${{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\in \left( C \right)$.
Đường tròn $(C)$ có tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=1$.
Goị $M$ là trung điểm ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ $\Rightarrow IM\bot {{M}_{1}}{{M}_{2}}$, $IM=\sqrt{{{R}^{2}}-{{M}_{1}}{{M}^{2}}}=\sqrt{1-{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{2}}}=\dfrac{3}{5}$, và $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=2OM$.
Mà $OM\le OI+IM$, dấu bằng xảy ra khi $O, I,M$ thẳng hàng. Khi đó $OM\bot {{M}_{1}}{{M}_{2}}$, và $OM=OI+IM=\dfrac{28}{5}$.
$\Rightarrow $ $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ đạt giá trị lớn nhất bằng $2\left( OI+IM \right)$, bằng $\dfrac{56}{5}$.
Hoặc đánh giá Đáp án đáp án như sau:
Gọi $N\left( -{{x}_{2}};-{{y}_{2}} \right)$ $\Rightarrow N{{M}_{1}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$
Và $N$ đối xứng với ${{M}_{2}}$ qua gốc tọa độ $O$, $N\in $ đường tròn $({{C}_{1}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x+8y+24=0$.
$({{C}_{1}})$ có tâm ${{I}_{1}}\left( -3;-4 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=1$, $({{C}_{1}})$ đối xứng với $\left( C \right)$ qua gốc tọa độ $O$.
Có ${{I}_{1}}I=10$ $\Rightarrow {{I}_{1}}I-R-{{R}_{1}}=8$.
Nhận xét: với mọi điểm ${{M}_{1}}\in \left( C \right)$, $N\in \left( {{C}_{1}} \right)$ thì ${{M}_{1}}N\ge {{I}_{1}}I-R-{{R}_{1}}$. Loại các đáp án B,C,D
$\Rightarrow $ $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|={{M}_{1}}N$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{56}{5}$.
Đáp án B.