Google
Câu hỏi: Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-5-3i \right|=5$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=8$. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ trong hai mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là đường tròn có phương trình nào dưới đây?
A. ${{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{4}.$
B. ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=36.$
C. ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=16.$
D. ${{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=9.$
A. ${{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{4}.$
B. ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=36.$
C. ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=16.$
D. ${{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=9.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& {{w}_{1}}={{z}_{1}}-5-3i \\
& {{w}_{2}}={{z}_{2}}-5-3i \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ {{w}_{1}}+{{w}_{2}}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}-10-6i=w-10-6i\Leftrightarrow \left| {{w}_{1}}+{{w}_{2}} \right|=\left| w-10-6i \right|$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{w}_{1}} \right|=\left| {{w}_{2}} \right|=5 \\
& \left| {{w}_{1}}-{{w}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=8 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{\left| {{w}_{1}}+{{w}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{w}_{1}}-{{w}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{2}} \right)\Rightarrow {{\left| {{w}_{1}}+{{w}_{2}} \right|}^{2}}=36$
Vậy $\left| w-10-6i \right|=\left| {{w}_{1}}+{{w}_{2}} \right|=\sqrt{36}=6\Rightarrow w$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 10;6 \right)$, bán kính $R=6.$
Cách 2: Gọi $A\left( {{z}_{1}} \right);B\left( {{z}_{2}} \right)$ biểu diễn số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$
Ta có: tập hợp $z$ là đường tròn tâm $I\left( 5;3 \right)$ bán kính $R=5,AB=8$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OH}$ (1)
Mặt khác $IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=3\Rightarrow $ tập hợp điểm H là đường tròn ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=9\left( C \right).$
Giả sử $w\left( a;b \right),\left( 1 \right)\Rightarrow H\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2} \right)\in \left( C \right)\Rightarrow {{\left( \dfrac{a}{2}-5 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2}-3 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{\left( a-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=36.$
& {{w}_{1}}={{z}_{1}}-5-3i \\
& {{w}_{2}}={{z}_{2}}-5-3i \\
\end{aligned} \right. $ suy ra $ {{w}_{1}}+{{w}_{2}}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}-10-6i=w-10-6i\Leftrightarrow \left| {{w}_{1}}+{{w}_{2}} \right|=\left| w-10-6i \right|$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{w}_{1}} \right|=\left| {{w}_{2}} \right|=5 \\
& \left| {{w}_{1}}-{{w}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=8 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{\left| {{w}_{1}}+{{w}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{w}_{1}}-{{w}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{w}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{w}_{2}} \right|}^{2}} \right)\Rightarrow {{\left| {{w}_{1}}+{{w}_{2}} \right|}^{2}}=36$
Vậy $\left| w-10-6i \right|=\left| {{w}_{1}}+{{w}_{2}} \right|=\sqrt{36}=6\Rightarrow w$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 10;6 \right)$, bán kính $R=6.$
Cách 2: Gọi $A\left( {{z}_{1}} \right);B\left( {{z}_{2}} \right)$ biểu diễn số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$
Ta có: tập hợp $z$ là đường tròn tâm $I\left( 5;3 \right)$ bán kính $R=5,AB=8$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OH}$ (1)
Mặt khác $IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=3\Rightarrow $ tập hợp điểm H là đường tròn ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=9\left( C \right).$
Giả sử $w\left( a;b \right),\left( 1 \right)\Rightarrow H\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2} \right)\in \left( C \right)\Rightarrow {{\left( \dfrac{a}{2}-5 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2}-3 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{\left( a-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=36.$
Đáp án B.