Cho $z_{1}$ , $z_{2}$ là hai trong các số phức z thỏa mãn...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho

z_{1}

,

z_{2}

là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

| z - 5 - 3 i | = 5

và

| z_{1} - z_{2} | = 8

. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

w = z_{1} + z_{2}

trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây?
A.

{(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}

.
B.

{(x - 10)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 36

.
C.

{(x - 10)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 16

.
D.

{(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 9

.

Đặt

{\begin{aligned} w_{1} = z_{1} - 5 - 3 i \\ w_{2} = z_{2} - 5 - 3 i \end{aligned}

suy ra

w_{1} + w_{2} = z_{1} + z_{2} - 10 - 6 i = w - 10 - 6 i \Leftrightarrow | w_{1} + w_{2} | = | w - 10 - 6 i |

Mà

{\begin{aligned} | w_{1} | = | w_{2} | = 5 \\ | w_{1} - w_{2} | = | z_{1} - z_{2} | = 8 \end{aligned}

và

{| w_{1} + w_{2} |}^{2} + {| w_{1} - w_{2} |}^{2} = 2 ({| w_{1} |}^{2} + {| w_{2} |}^{2}) \Rightarrow {| w_{1} + w_{2} |}^{2} = 36

.
Vậy

| w - 10 - 6 i | = | w_{1} + w_{2} | = \sqrt{36} = 6 \Rightarrow

w thuộc đường tròn tâm

I (10; 6)

, bán kính

R = 6

.
Cách 2: Gọi

A (z_{1})

;

B (z_{2})

biểu diễn số phức

z_{1}

;

z_{2}

Ta có: tập hợp z là đường tròn tâm

I (5; 3)

bán kính

R = 5

;

A B = 8

Gọi H là trung điểm của

A B \Rightarrow w = z_{1} + z_{2} = \vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O H}

(1)

Mặt khác

I H = \sqrt{I A^{2} - H A^{2}} = 3 \Rightarrow

tập hợp điểm H là đường tròn

{(x - 5)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9 (C)

.
Giả sử

w (a; b), (1) \Rightarrow H (\frac{a}{2}; \frac{b}{2}) \in (C) \Rightarrow {(\frac{a}{2} - 5)}^{2} + {(\frac{b}{2} - 3)}^{2} = 9 \Leftrightarrow {(a - 10)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 36

Đáp án B.

Cho z1, z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn...