Google
Câu hỏi: Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| z-5-3i \right|=5$, đồng thời $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=8$. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $\text{w}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây?
A. ${{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{4}.$
B. ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=36.$
C. ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=16.$
D. ${{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=9.$
A. ${{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{4}.$
B. ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=36.$
C. ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=16.$
D. ${{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=9.$
Đặt ${{z}_{1}}^{\prime }={{z}_{1}}-5-3i;{{z}_{2}}^{\prime }={{z}_{2}}-5-3i$. Suy ra $\left| {{z}_{1}}^{\prime } \right|=\left| {{z}_{2}}^{\prime } \right|=5.$
Mặt khác ta có $\left| {{z}_{1}}^{\prime }-{{z}_{2}}^{\prime } \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=8.$
Với hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ bất kì ta luôn có: ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right).$
Do đó ${{\left| {{z}_{1}}^{\prime }+{{z}_{2}}^{\prime } \right|}^{2}}=2\left( 25+25 \right)-{{8}^{2}}=36\Rightarrow \left| {{z}_{1}}^{\prime }+{{z}_{2}}^{\prime } \right|=6.$
Vậy $\left| \text{w}-10-6i \right|=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}-10-6i \right|=\left| {{z}_{1}}^{\prime }+{{z}_{2}}^{\prime } \right|=6.$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $\text{w}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=36.$
Mặt khác ta có $\left| {{z}_{1}}^{\prime }-{{z}_{2}}^{\prime } \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=8.$
Với hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ bất kì ta luôn có: ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right).$
Do đó ${{\left| {{z}_{1}}^{\prime }+{{z}_{2}}^{\prime } \right|}^{2}}=2\left( 25+25 \right)-{{8}^{2}}=36\Rightarrow \left| {{z}_{1}}^{\prime }+{{z}_{2}}^{\prime } \right|=6.$
Vậy $\left| \text{w}-10-6i \right|=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}-10-6i \right|=\left| {{z}_{1}}^{\prime }+{{z}_{2}}^{\prime } \right|=6.$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $\text{w}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình ${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=36.$
Đáp án B.