Google
Câu hỏi: Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left| z-3+\sqrt{3}i \right|=2$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$. Giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $2+2\sqrt{3}$.
B. $4\sqrt{3}$.
C. $4$.
D. $8$.
A. $2+2\sqrt{3}$.
B. $4\sqrt{3}$.
C. $4$.
D. $8$.
Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}-3+\sqrt{3}i \right|=\left| {{z}_{2}}-3+\sqrt{3}i \right|=2 \\
& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4 \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \left\{ \begin{aligned}
& M,N\in \left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+\sqrt{3} \right)}^{2}}={{2}^{2}} \\
& MN=4=2.2 \\
\end{aligned} \right.$.
Như vậy $MN$ là đường kính của đường tròn $\left( C \right)$ với tâm $I\left( 3;-\sqrt{3} \right)$, bán kính $R=2$, do đó $I$ là trung điểm $MN$, $\text{O}I=\sqrt{12}$.
Ta có $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=OM+ON\le \sqrt{\left( 1+1 \right)\left( O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( 2\text{O}{{I}^{2}}+\dfrac{M{{N}^{2}}}{2} \right)}=8$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $OM=ON\Leftrightarrow MN$ là đường kính của $\left( C \right)$ vuông góc với $OI$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}-3+\sqrt{3}i \right|=\left| {{z}_{2}}-3+\sqrt{3}i \right|=2 \\
& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4 \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \left\{ \begin{aligned}
& M,N\in \left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+\sqrt{3} \right)}^{2}}={{2}^{2}} \\
& MN=4=2.2 \\
\end{aligned} \right.$.
Như vậy $MN$ là đường kính của đường tròn $\left( C \right)$ với tâm $I\left( 3;-\sqrt{3} \right)$, bán kính $R=2$, do đó $I$ là trung điểm $MN$, $\text{O}I=\sqrt{12}$.
Ta có $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=OM+ON\le \sqrt{\left( 1+1 \right)\left( O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( 2\text{O}{{I}^{2}}+\dfrac{M{{N}^{2}}}{2} \right)}=8$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $OM=ON\Leftrightarrow MN$ là đường kính của $\left( C \right)$ vuông góc với $OI$.
Đáp án D.