Google
Câu hỏi: Cho ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức thỏa mãn $\left| z-1+i \right|=2$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}-6+5i \right|$ có dạng $a+\sqrt{b}$. Khi đó ${{a}^{2}}+b$ có giá trị là
A. $126$.
B. $36$.
C. $28$.
D. $42$.
${{\text{w}}_{1}}={{z}_{1}}-1+i ; {{\text{w}}_{2}}={{z}_{2}}-1+i \Rightarrow \left| {{\text{w}}_{1}} \right|=2; \left| {{\text{w}}_{2}} \right|=2$.
Ta có: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| {{\text{w}}_{1}}-{{\text{w}}_{2}} \right|=\sqrt{5}$.
Vì ${{\left| {{\text{w}}_{1}}-{{\text{w}}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{\text{w}}_{1}}\text{+}{{\text{w}}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{\text{w}}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{\text{w}}_{2}} \right|}^{2}} \right)\Rightarrow \left| {{\text{w}}_{1}}\text{+}{{\text{w}}_{2}} \right|=\sqrt{11}.$
$P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}-6+5i \right|=\left| {{\text{w}}_{1}}+1-i+{{\text{w}}_{2}}+1-i-6+5i \right|=\left| {{\text{w}}_{1}}+{{\text{w}}_{2}}-4+3i \right|$.
Lại có: $P=\left| {{\text{w}}_{1}}+{{\text{w}}_{2}}-4+3i \right|\le \left| {{\text{w}}_{1}}+{{\text{w}}_{2}} \right|+\left| -4+3i \right|\Leftrightarrow P\le 5+\sqrt{11}$.
Khi đó $MaxP=5+\sqrt{11}\Rightarrow a=5; b=11$. Vậy ${{a}^{2}}+b=36.$
A. $126$.
B. $36$.
C. $28$.
D. $42$.
Đặt $\text{w}=z-1+i\Rightarrow \left| \text{w} \right|=2$.${{\text{w}}_{1}}={{z}_{1}}-1+i ; {{\text{w}}_{2}}={{z}_{2}}-1+i \Rightarrow \left| {{\text{w}}_{1}} \right|=2; \left| {{\text{w}}_{2}} \right|=2$.
Ta có: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| {{\text{w}}_{1}}-{{\text{w}}_{2}} \right|=\sqrt{5}$.
Vì ${{\left| {{\text{w}}_{1}}-{{\text{w}}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{\text{w}}_{1}}\text{+}{{\text{w}}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{\text{w}}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{\text{w}}_{2}} \right|}^{2}} \right)\Rightarrow \left| {{\text{w}}_{1}}\text{+}{{\text{w}}_{2}} \right|=\sqrt{11}.$
$P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}}-6+5i \right|=\left| {{\text{w}}_{1}}+1-i+{{\text{w}}_{2}}+1-i-6+5i \right|=\left| {{\text{w}}_{1}}+{{\text{w}}_{2}}-4+3i \right|$.
Lại có: $P=\left| {{\text{w}}_{1}}+{{\text{w}}_{2}}-4+3i \right|\le \left| {{\text{w}}_{1}}+{{\text{w}}_{2}} \right|+\left| -4+3i \right|\Leftrightarrow P\le 5+\sqrt{11}$.
Khi đó $MaxP=5+\sqrt{11}\Rightarrow a=5; b=11$. Vậy ${{a}^{2}}+b=36.$
Đáp án B.